Номер 453, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

453. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если AB = ВС = m, ∠ABC = φ и ВВ₁ = ВD, где BD — высота треугольника ABC.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. В основании данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. Так как призма прямая, её высота $H$ равна длине бокового ребра $BB_1$.

Сначала найдем площадь основания $S_{ABC}$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле через две стороны и угол между ними. По условию, $AB = BC = m$ и $\angle ABC = \phi$. Тогда площадь основания равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} m \cdot m \cdot \sin\phi = \frac{1}{2}m^2\sin\phi$.

Далее найдем высоту призмы $H$. По условию, $H = BB_1 = BD$, где $BD$ — высота треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), его высота $BD$, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла $\angle ABC$. Таким образом, $\angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\phi}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, где $\angle BDA = 90^\circ$. Катет $BD$ можно выразить через гипотенузу $AB=m$ и прилежащий к нему угол $\angle ABD$:

$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = m \cos\frac{\phi}{2}$.

Следовательно, высота призмы $H = m \cos\frac{\phi}{2}$.

Теперь можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения $S_{ABC}$ и $H$ в формулу объема:

$V = S_{ABC} \cdot H = \left(\frac{1}{2}m^2\sin\phi\right) \cdot \left(m \cos\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}m^3\sin\phi \cos\frac{\phi}{2}$.

Это выражение можно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin\phi = 2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}$:

$V = \frac{1}{2}m^3 \left(2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}\right) \cos\frac{\phi}{2} = m^3\sin\frac{\phi}{2}\cos^2\frac{\phi}{2}$.

Ответ: $m^3\sin\frac{\phi}{2}\cos^2\frac{\phi}{2}$.