Номер 457, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

457. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна а.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ – верхнее. По условию, основания являются правильными (равносторонними) треугольниками со стороной $a$. Призма правильная, значит, она прямая, и ее высота $h$ равна длине бокового ребра, например, $h = CC_1$.

Объем призмы вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основание – равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь равна:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.
Сечение проведено через сторону нижнего основания, например $AB$, и противолежащую ей вершину верхнего основания $C_1$. Сечением является треугольник $ABC_1$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом между указанными плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к линии их пересечения $AB$ в одной точке.

Проведем в плоскости основания $(ABC)$ высоту (а также медиану и биссектрису) $CM$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то $M$ – середина $AB$ и $CM \perp AB$.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Рассмотрим треугольники $\triangle CAC_1$ и $\triangle CBC_1$. Они прямоугольные (углы $\angle C_1CA$ и $\angle C_1CB$ прямые, так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания). В этих треугольниках $AC = BC = a$ и катет $CC_1$ общий. Следовательно, $\triangle CAC_1 = \triangle CBC_1$ по двум катетам, откуда их гипотенузы равны: $AC_1 = BC_1$.

Это означает, что сечение $\triangle ABC_1$ является равнобедренным треугольником с основанием $AB$. Его медиана $C_1M$, проведенная к основанию, также является и высотой, то есть $C_1M \perp AB$.

Таким образом, мы имеем два перпендикуляра $CM$ и $C_1M$, проведенные к одной прямой $AB$ в точке $M$. Угол между ними, $\angle C_1MC$, и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1MC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1CM$. Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CM$. Следовательно, $\triangle C_1CM$ – прямоугольный, с прямым углом $\angle C_1CM$.

В этом треугольнике:
- $CC_1 = h$ – высота призмы (катет).
- $CM$ – высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ (второй катет). Длина $CM$ вычисляется по формуле: $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- $\angle C_1MC = 60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1CM$ имеем:
$\tan(\angle C_1MC) = \frac{CC_1}{CM}$
$h = CC_1 = CM \cdot \tan(60^\circ)$
Подставим известные значения:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{2} = \frac{3a}{2}$

3. Найдем объем призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем:
$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$

Ответ: Объем призмы равен $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.