Номер 452, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

452. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если:

a) ∠ВАС = 120°, AB = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см²;

б) ∠AB₁C = 60°, AB₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

а)

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы — треугольника $ABC$. По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

Подставим известные значения: $AB=5$ см, $AC=3$ см, $\angle BAC = 120^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы $h$. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра ($h = AA_1 = BB_1 = CC_1$). Площади боковых граней, являющихся прямоугольниками, равны $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot h = 5h$, $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h = 3h$ и $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h$.

Наибольшая из площадей боковых граней соответствует наибольшей стороне основания. Найдем длину стороны $BC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$.

$BC = \sqrt{49} = 7$ см.

Сравнивая стороны основания ($AB=5$ см, $AC=3$ см, $BC=7$ см), видим, что $BC$ — наибольшая сторона. Следовательно, грань $BCC_1B_1$ имеет наибольшую площадь.

По условию, наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см$^2$.

$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h = 35$

$7 \cdot h = 35$

$h = 5$ см.

3. Теперь можем найти объем призмы:

$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

б)

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Условие "двугранный угол с ребром $BB_1$ прямой" означает, что плоскости граней $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$ перпендикулярны. Так как призма прямая, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Следовательно, линейный угол двугранного угла при ребре $BB_1$ — это угол $\angle ABC$ в основании. Таким образом, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ в основании является прямоугольным.

2. Пусть высота призмы $h = BB_1$. Так как призма прямая, боковые ребра перпендикулярны основанию, поэтому треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle CBB_1$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $B$). По теореме Пифагора:

Из $\triangle ABB_1$: $AB^2 = AB_1^2 - BB_1^2 = 3^2 - h^2 = 9 - h^2$.

Из $\triangle CBB_1$: $BC^2 = CB_1^2 - BB_1^2 = 2^2 - h^2 = 4 - h^2$.

3. Рассмотрим треугольник $AB_1C$. В нем известны две стороны $AB_1=3$, $CB_1=2$ и угол между ними $\angle AB_1C = 60^\circ$. Найдем квадрат третьей стороны $AC^2$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$.

4. С другой стороны, $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим выражения для $AB^2$ и $BC^2$, найденные в пункте 2:

$AC^2 = (9 - h^2) + (4 - h^2) = 13 - 2h^2$.

5. Приравняем два полученных выражения для $AC^2$ и найдем высоту $h$:

$13 - 2h^2 = 7$

$2h^2 = 6$

$h^2 = 3 \implies h = \sqrt{3}$.

6. Теперь найдем длины катетов основания $AB$ и $BC$:

$AB^2 = 9 - h^2 = 9 - 3 = 6 \implies AB = \sqrt{6}$.

$BC^2 = 4 - h^2 = 4 - 3 = 1 \implies BC = 1$.

7. Найдем площадь основания — прямоугольного треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

8. Найдем объем призмы:

$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.