Номер 450, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

450. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если: a) AC₁ = 1 м, ∠C₁AC = 45°, ∠C₁AB = 60°; б) АС₁ = 24 см, ∠C₁AA₁ = 45°, диагональ АС₁ составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани.

а)Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a = AB$, $b = AD$ и $c = AA_1$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.Длина диагонали параллелепипеда $AC_1 = 1$ м.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и диагонали основания $AC$). По условию $\angle C_1AC = 45^\circ$.Найдем высоту $c = CC_1$ и диагональ основания $AC$:
$c = CC_1 = AC_1 \cdot \sin(\angle C_1AC) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
$AC = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AC) = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
Квадрат диагонали прямоугольного основания равен сумме квадратов его сторон: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$.Следовательно, $a^2 + b^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь используем второе условие: $\angle C_1AB = 60^\circ$. Это угол между диагональю параллелепипеда $AC_1$ и ребром $AB$. Проекция диагонали $AC_1$ на прямую, содержащую ребро $AB$, есть само ребро $AB$.Поэтому $AB = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AB)$.
$a = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ м.

Подставим найденное значение $a$ в соотношение $a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$, чтобы найти $b$:
$(\frac{1}{2})^2 + b^2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} + b^2 = \frac{1}{2}$
$b^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ м.

Таким образом, измерения параллелепипеда: $a = \frac{1}{2}$ м, $b = \frac{1}{2}$ м, $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.Вычислим объем:
$V = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$ м?.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{8}$ м?.

б)Пусть измерения параллелепипеда $a = AB$, $b = AD$, $c = AA_1$. Объем $V = abc$.Дана диагональ $AC_1 = 24$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1C_1$ (ребро $AA_1$ перпендикулярно верхней грани, а значит и отрезку $A_1C_1$). По условию $\angle C_1AA_1 = 45^\circ$.Найдем высоту $c = AA_1$ и диагональ основания $AC = A_1C_1$:
$c = AA_1 = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AA_1) = 24 \cdot \cos(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.
$AC = A_1C_1 = AC_1 \cdot \sin(\angle C_1AA_1) = 24 \cdot \sin(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.
Из прямоугольника в основании имеем $AC^2 = a^2 + b^2$, откуда $a^2 + b^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288$.

Диагональ $AC_1$ составляет угол в $30^\circ$ с плоскостью боковой грани. Возьмем боковую грань $ADD_1A_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является отрезок $AD_1$. Значит, $\angle C_1AD_1 = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Ребро $C_1D_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, следовательно, $C_1D_1 \perp AD_1$. Таким образом, $\triangle AC_1D_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D_1$.В этом треугольнике катет $C_1D_1$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Длина этого катета равна длине ребра $AB$, то есть $C_1D_1 = a$.
$\sin(\angle C_1AD_1) = \frac{C_1D_1}{AC_1}$
$\sin(30^\circ) = \frac{a}{24}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{24}$
Отсюда находим $a = 12$ см.

Теперь найдем измерение $b$ из соотношения $a^2 + b^2 = 288$:
$12^2 + b^2 = 288$
$144 + b^2 = 288$
$b^2 = 288 - 144 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Итак, измерения параллелепипеда: $a = 12$ см, $b = 12$ см, $c = 12\sqrt{2}$ см.Найдем объем:
$V = a \cdot b \cdot c = 12 \cdot 12 \cdot 12\sqrt{2} = 1728\sqrt{2}$ см?.

Ответ: $1728\sqrt{2}$ см?.