Страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

442. Найдите объём куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АС = 12 см; б) АС₁ = 32 м; в) DE = 1 см, где E — середина ребра AB.

а) Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ грани куба $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AB = BC = a$. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
По условию $AC = 12$ см.
$12^2 = 2a^2$
$144 = 2a^2$
$a^2 = 72$
$a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.
Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$.
$V = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $432\sqrt{2}$ см$^3$.

б) Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба $AC_1$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ACC_1$ с катетами $AC$ (диагональ грани) и $CC_1$ (ребро куба).
Мы знаем, что $CC_1 = a$ и из предыдущего пункта $AC^2 = 2a^2$. По теореме Пифагора для $\triangle ACC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
По условию $AC_1 = 3\sqrt{2}$ м.
$(3\sqrt{2})^2 = 3a^2$
$9 \cdot 2 = 3a^2$
$18 = 3a^2$
$a^2 = 6$
$a = \sqrt{6}$ м.
Объём куба $V = a^3$.
$V = (\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$ м$^3$.
Ответ: $6\sqrt{6}$ м$^3$.

в) Пусть ребро куба равно $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$ в плоскости основания $ABCD$. Угол $A$ прямой. Катеты треугольника: $AD = a$ и $AE$.
Так как $E$ — середина ребра $AB$, то $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $DE = 1$ см по условию.
По теореме Пифагора для $\triangle ADE$:
$DE^2 = AD^2 + AE^2$
$1^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$1 = a^2 + \frac{a^2}{4}$
$1 = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$
$5a^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{5}$
$a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ см.
Объём куба $V = a^3$.
$V = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{5})^3} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5 \cdot 5} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.

443. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.

Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_п$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).
$V_п = a \cdot b \cdot c$
По условию, измерения параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Подставим эти значения в формулу:
$V_п = 8 \cdot 12 \cdot 18 = 96 \cdot 18 = 1728$ см?.

Далее, по условию задачи, объем куба ($V_к$) равен объему этого параллелепипеда.
$V_к = V_п = 1728$ см?.

Объем куба находится по формуле $V_к = d^3$, где $d$ — длина его ребра. Чтобы найти ребро куба, необходимо извлечь кубический корень из его объема.
$d = \sqrt[3]{V_к} = \sqrt[3]{1728}$
Проверим число 12: $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$.
Следовательно, ребро куба равно 12 см.

Ответ: 12 см.

444. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см³. Найдите его массу.

Для нахождения массы кирпича необходимо сначала вычислить его объем, а затем, используя известную плотность, найти массу по формуле $m = \rho \cdot V$.

1. Вычислим объем кирпича. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого ($V$) равен произведению трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$).

Дано:

$a = 25 \text{ см}$

$b = 12 \text{ см}$

$c = 6,5 \text{ см}$

Формула для объема:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставляем значения:

$V = 25 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 6,5 \text{ см} = 300 \text{ см}^2 \cdot 6,5 \text{ см} = 1950 \text{ см}^3$

2. Вычислим массу кирпича. Масса ($m$) связана с плотностью ($\rho$) и объемом ($V$) следующим образом:

$m = \rho \cdot V$

Из условия задачи известно, что плотность кирпича $\rho = 1,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Подставляем значения плотности и вычисленного объема:

$m = 1,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 1950 \text{ см}^3 = 3510 \text{ г}$

Массу также можно выразить в килограммах. Так как $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, получаем:

$m = \frac{3510}{1000} \text{ кг} = 3,51 \text{ кг}$

Ответ: 3510 г (или 3,51 кг).

445. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если AC₁ = 13 см, BD = 12 см и BC₁ = 11 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $AB = a$, $AD = BC = b$ и $AA_1 = c$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Наша задача — найти значения $a$, $b$ и $c$, используя данные из условия.

1. Используем связь между измерениями параллелепипеда и его диагоналями.

$AC_1$ — это пространственная диагональ параллелепипеда. Квадрат её длины равен сумме квадратов трёх его измерений: $AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. По условию $AC_1 = 13$ см, следовательно: $a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$. (1)

$BD$ — это диагональ основания $ABCD$. Так как основание является прямоугольником, по теореме Пифагора для треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$. По условию $BD = 12$ см, следовательно: $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$. (2)

$BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань также является прямоугольником, поэтому по теореме Пифагора для треугольника $BCC_1$: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + c^2$. По условию $BC_1 = 11$ см, следовательно: $b^2 + c^2 = 11^2 = 121$. (3)

2. Решаем полученную систему уравнений.

Мы получили систему из трёх уравнений:
$a^2 + b^2 + c^2 = 169$
$a^2 + b^2 = 144$
$b^2 + c^2 = 121$

Подставим уравнение (2) в уравнение (1): $(a^2 + b^2) + c^2 = 169$
$144 + c^2 = 169$
$c^2 = 169 - 144 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Подставим уравнение (3) в уравнение (1): $a^2 + (b^2 + c^2) = 169$
$a^2 + 121 = 169$
$a^2 = 169 - 121 = 48$
$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём $b^2$, подставив значение $a^2$ в уравнение (2): $48 + b^2 = 144$
$b^2 = 144 - 48 = 96$
$b = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

3. Вычисляем объём параллелепипеда.

Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 4\sqrt{6}$ см, $c = 5$ см. Теперь можем найти объём: $V = a \cdot b \cdot c = (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{6}) \cdot 5$
$V = (4 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}) = 80 \cdot \sqrt{18}$
$V = 80 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 80 \cdot 3\sqrt{2} = 240\sqrt{2}$ см?.

Ответ: $240\sqrt{2}$ см?.

446. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$, а его главную диагональ — как $d$. По условию, $d = 18$ см. Объем параллелепипеда $V$ находится по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Для нахождения объёма необходимо определить все три измерения.

1. Нахождение первого измерения.Угол между диагональю и плоскостью боковой грани составляет $30^\circ$. Возьмём диагональ $AC_1$ и боковую грань $ADD_1A_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является отрезок $AD_1$, так как $C_1D_1$ — перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, угол $\angle C_1AD_1 = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Он является прямоугольным, поскольку ребро $C_1D_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, а значит, и прямой $AD_1$, лежащей в этой грани ($\angle AD_1C_1 = 90^\circ$). Катет $C_1D_1$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, является одним из измерений параллелепипеда. Обозначим его как $a$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$a = C_1D_1 = d \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

2. Нахождение второго измерения (высоты).Угол между диагональю $AC_1$ и боковым ребром составляет $45^\circ$. В качестве бокового ребра выберем $AA_1$. Угол между ними — это $\angle A_1AC_1 = 45^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AA_1C_1$. Он является прямоугольным, так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$, а значит, и диагонали основания $A_1C_1$ ($\angle AA_1C_1 = 90^\circ$). Высота параллелепипеда $c = AA_1$ является катетом, прилежащим к углу в $45^\circ$. Тогда:$c = AA_1 = d \cdot \cos(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение третьего измерения.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Мы уже нашли два измерения: $a = 9$ см и $c = 9\sqrt{2}$ см. Найдем третье измерение $b$.Выразим $b^2$ из формулы:$b^2 = d^2 - a^2 - c^2$Подставим известные значения:$b^2 = 18^2 - 9^2 - (9\sqrt{2})^2 = 324 - 81 - (81 \cdot 2) = 324 - 81 - 162 = 324 - 243 = 81$$b = \sqrt{81} = 9$ см.

4. Вычисление объёма.Теперь, когда известны все три измерения параллелепипеда ($a=9$ см, $b=9$ см, $c=9\sqrt{2}$ см), мы можем вычислить его объём:$V = a \cdot b \cdot c = 9 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $729\sqrt{2} \text{ см}^3$.

447. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна h.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $h$, где $h$ — заданная высота. Объём параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Обозначим диагональ параллелепипеда как $d$.

Сначала рассмотрим угол $\beta$, который диагональ $d$ составляет с плоскостью основания. Диагональ $d$, высота $h$ и диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{a^2+b^2}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\beta$. Таким образом, справедливо соотношение:
$sin(\beta) = \frac{h}{d}$
Из этого соотношения мы можем выразить длину главной диагонали $d$:
$d = \frac{h}{sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим угол $\alpha$, который диагональ $d$ составляет с плоскостью боковой грани. Пусть мы выбрали боковую грань с рёбрами $b$ и $h$. Тогда угол $\alpha$ — это угол между диагональю $d$ и её проекцией на эту плоскость. Ребро $a$ перпендикулярно этой боковой грани, поэтому его длина равна расстоянию от конца диагонали до плоскости грани. Таким образом, диагональ $d$, ребро $a$ и проекция диагонали на боковую грань образуют другой прямоугольный треугольник, в котором ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Следовательно:
$sin(\alpha) = \frac{a}{d}$
Отсюда выразим длину ребра $a$:
$a = d \cdot sin(\alpha)$

Подставив найденное выражение для $d$ в формулу для $a$, получим:
$a = \left(\frac{h}{sin(\beta)}\right) \cdot sin(\alpha) = h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}$

Для нахождения длины третьего ребра $b$ воспользуемся свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, которое связывает её с тремя измерениями по теореме Пифагора в пространстве:
$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$
Выразим отсюда $b^2$:
$b^2 = d^2 - a^2 - h^2$
Теперь подставим выражения для $d$ и $a$, которые мы нашли ранее:
$b^2 = \left(\frac{h}{sin(\beta)}\right)^2 - \left(h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}\right)^2 - h^2$
$b^2 = \frac{h^2}{sin^2(\beta)} - \frac{h^2 sin^2(\alpha)}{sin^2(\beta)} - h^2$
Вынесем $h^2$ за скобки и приведём выражение к общему знаменателю:
$b^2 = h^2 \left( \frac{1}{sin^2(\beta)} - \frac{sin^2(\alpha)}{sin^2(\beta)} - 1 \right) = h^2 \frac{1 - sin^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - sin^2(\alpha) = cos^2(\alpha)$, упростим числитель:
$b^2 = h^2 \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}$
Так как длина ребра является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:
$b = \sqrt{h^2 \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}} = \frac{h}{sin(\beta)}\sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$

Наконец, вычислим объём параллелепипеда, перемножив длины его рёбер $a$, $b$ и $h$:
$V = a \cdot b \cdot h = \left(h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}\right) \cdot \left(\frac{h}{sin(\beta)}\sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}\right) \cdot h$
$V = \frac{h^3 sin(\alpha)}{sin^2(\beta)} \sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$
Это выражение является решением задачи. Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $cos^2(\alpha) \ge sin^2(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{h^3 sin(\alpha)}{sin^2(\beta)} \sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$

448. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Стороны его основания равны $AD = BC = b$ и $AB = DC = a$. Высота параллелепипеда равна $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = h$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. В нашем случае площадь основания $S_{осн} = a \cdot b$. Таким образом, для нахождения объёма необходимо определить высоту $h$.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда, например, $B_1D$. По условию, эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания $b$, угол в $30^\circ$. Такой гранью является, например, грань $CDD_1C_1$.

Угол между прямой (диагональю $B_1D$) и плоскостью (гранью $CDD_1C_1$) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти проекцию, опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $CDD_1C_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Следовательно, точка $C_1$ является проекцией точки $B_1$ на эту плоскость. Точка $D$ уже лежит в плоскости этой грани (на прямой $DD_1$). Таким образом, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость грани $CDD_1C_1$ является отрезок $C_1D$.

Треугольник $\triangle B_1C_1D$ является прямоугольным, так как $B_1C_1 \perp$ плоскости $(CDD_1)$, а значит, $B_1C_1 \perp C_1D$. Угол $\angle B_1DC_1$ — это и есть угол между диагональю $B_1D$ и её проекцией $C_1D$, который по условию равен $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1C_1D$:

• Катет $B_1C_1$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Длина этого катета равна стороне основания $b$, то есть $B_1C_1 = b$.
• Катет $C_1D$ — диагональ боковой грани $CDD_1C_1$.
• $B_1D$ — гипотенуза.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle B_1DC_1) = \frac{B_1C_1}{C_1D}$

$\tan(30^\circ) = \frac{b}{C_1D}$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{C_1D}$, откуда $C_1D = b\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником со сторонами $DC = a$ и $DD_1 = h$. Отрезок $C_1D$ является диагональю этого прямоугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DD_1C_1$:$C_1D^2 = DD_1^2 + D_1C_1^2$

Подставим известные значения: $D_1C_1 = DC = a$ и $DD_1=h$.$(b\sqrt{3})^2 = h^2 + a^2$

$3b^2 = h^2 + a^2$

Отсюда выразим $h^2$:$h^2 = 3b^2 - a^2$

$h = \sqrt{3b^2 - a^2}$

Теперь мы можем найти объём параллелепипеда:$V = a \cdot b \cdot h = ab\sqrt{3b^2 - a^2}$

Примечание: В задаче допущена неточность. Если бы диагональ составляла угол с гранью, содержащей сторону $a$, то высота была бы $h=\sqrt{3a^2-b^2}$, а объём $V=ab\sqrt{3a^2-b^2}$. Решение приведено в строгом соответствии с текстом задачи (грань содержит сторону $b$).

Ответ: $V = ab\sqrt{3b^2 - a^2}$.

449. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ B₁D составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A₁B₁BD равен 60°. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ как $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$.

Нахождение высоты параллелепипеда

Угол между диагональю параллелепипеда $B_1D$ и плоскостью основания $(ABCD)$ по определению является углом между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией наклонной $B_1D$ на плоскость $(ABCD)$ является диагональ основания $BD$. Следовательно, угол, о котором говорится в условии, — это $\angle B_1DB$. По условию, $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\triangle B_1BD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B_1BD = 90^\circ$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BD$ имеем: $ \tan(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{BD} $

Высота параллелепипеда равна длине ребра $c = BB_1$. По условию, диагональ основания $BD = 12$ см. Подставим известные значения в формулу: $ \tan(45^\circ) = \frac{c}{12} $

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что высота $c$ равна диагонали основания: $ c = 12 \text{ см}. $

Нахождение сторон основания

Двугранный угол $A_1B_1BD$ — это угол между плоскостями, проходящими через ребро $B_1B$. Такими плоскостями являются плоскость боковой грани $(A_1B_1B)$, то есть $(ABB_1A_1)$, и диагональная плоскость $(B_1BD)$, то есть $(DBB_1D_1)$.

Линейный угол этого двугранного угла можно построить, проведя в каждой из плоскостей перпендикуляры к общему ребру $B_1B$ из одной точки на нем, например, из точки $B$.

• В плоскости грани $(ABB_1A_1)$ отрезок $AB$ перпендикулярен ребру $B_1B$ (так как грань — прямоугольник).
• В диагональной плоскости $(DBB_1D_1)$ отрезок $BD$ перпендикулярен ребру $B_1B$ (так как ребро $B_1B$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $BD$ в ней).

Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол $\angle ABD$. По условию он равен $60^\circ$, то есть $\angle ABD = 60^\circ$.

Рассмотрим основание $ABCD$. Это прямоугольник, поэтому треугольник $\triangle ABD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BD = 12$ см и острый угол $\angle ABD = 60^\circ$. Найдем катеты $a = AB$ и $b = AD$, которые являются сторонами основания: $ a = AB = BD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}. $ $ b = AD = BD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}. $

Вычисление объема параллелепипеда

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $a = 6$ см, $b = 6\sqrt{3}$ см, $c = 12$ см. Объем равен произведению этих измерений: $ V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3} \text{ см}^3. $

Ответ: $432\sqrt{3} \text{ см}^3$.

450. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если: a) AC₁ = 1 м, ∠C₁AC = 45°, ∠C₁AB = 60°; б) АС₁ = 24 см, ∠C₁AA₁ = 45°, диагональ АС₁ составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани.

а)Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a = AB$, $b = AD$ и $c = AA_1$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.Длина диагонали параллелепипеда $AC_1 = 1$ м.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и диагонали основания $AC$). По условию $\angle C_1AC = 45^\circ$.Найдем высоту $c = CC_1$ и диагональ основания $AC$:
$c = CC_1 = AC_1 \cdot \sin(\angle C_1AC) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
$AC = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AC) = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
Квадрат диагонали прямоугольного основания равен сумме квадратов его сторон: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$.Следовательно, $a^2 + b^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь используем второе условие: $\angle C_1AB = 60^\circ$. Это угол между диагональю параллелепипеда $AC_1$ и ребром $AB$. Проекция диагонали $AC_1$ на прямую, содержащую ребро $AB$, есть само ребро $AB$.Поэтому $AB = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AB)$.
$a = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ м.

Подставим найденное значение $a$ в соотношение $a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$, чтобы найти $b$:
$(\frac{1}{2})^2 + b^2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} + b^2 = \frac{1}{2}$
$b^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ м.

Таким образом, измерения параллелепипеда: $a = \frac{1}{2}$ м, $b = \frac{1}{2}$ м, $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.Вычислим объем:
$V = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$ м?.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{8}$ м?.

б)Пусть измерения параллелепипеда $a = AB$, $b = AD$, $c = AA_1$. Объем $V = abc$.Дана диагональ $AC_1 = 24$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1C_1$ (ребро $AA_1$ перпендикулярно верхней грани, а значит и отрезку $A_1C_1$). По условию $\angle C_1AA_1 = 45^\circ$.Найдем высоту $c = AA_1$ и диагональ основания $AC = A_1C_1$:
$c = AA_1 = AC_1 \cdot \cos(\angle C_1AA_1) = 24 \cdot \cos(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.
$AC = A_1C_1 = AC_1 \cdot \sin(\angle C_1AA_1) = 24 \cdot \sin(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.
Из прямоугольника в основании имеем $AC^2 = a^2 + b^2$, откуда $a^2 + b^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288$.

Диагональ $AC_1$ составляет угол в $30^\circ$ с плоскостью боковой грани. Возьмем боковую грань $ADD_1A_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является отрезок $AD_1$. Значит, $\angle C_1AD_1 = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Ребро $C_1D_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, следовательно, $C_1D_1 \perp AD_1$. Таким образом, $\triangle AC_1D_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D_1$.В этом треугольнике катет $C_1D_1$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Длина этого катета равна длине ребра $AB$, то есть $C_1D_1 = a$.
$\sin(\angle C_1AD_1) = \frac{C_1D_1}{AC_1}$
$\sin(30^\circ) = \frac{a}{24}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{24}$
Отсюда находим $a = 12$ см.

Теперь найдем измерение $b$ из соотношения $a^2 + b^2 = 288$:
$12^2 + b^2 = 288$
$144 + b^2 = 288$
$b^2 = 288 - 144 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Итак, измерения параллелепипеда: $a = 12$ см, $b = 12$ см, $c = 12\sqrt{2}$ см.Найдем объем:
$V = a \cdot b \cdot c = 12 \cdot 12 \cdot 12\sqrt{2} = 1728\sqrt{2}$ см?.

Ответ: $1728\sqrt{2}$ см?.

451. Найдите объём прямой призмы ABCА₁В₁С₁, если ∠BAC = 90°, BC = 37 см, AB = 35 см, АА₁ = 1,1 дм.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. По условию, призма прямая, значит, её высота равна длине бокового ребра, то есть $h = AA_1$.

Сначала приведём все данные к одной единице измерения. Удобнее всего использовать сантиметры.Дано: $BC = 37$ см, $AB = 35$ см, $AA_1 = 1,1$ дм.Переведём высоту призмы в сантиметры:$h = AA_1 = 1,1 \text{ дм} = 1,1 \cdot 10 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$, поскольку по условию $\angle BAC = 90^\circ$. Катетами этого треугольника являются стороны $AB$ и $AC$, а гипотенузой — сторона $BC$.Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$.

Нам известен один катет $AB = 35$ см и гипотенуза $BC = 37$ см. Чтобы найти площадь, необходимо сначала вычислить длину второго катета $AC$. Сделаем это с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

Выразим $AC^2$:$AC^2 = BC^2 - AB^2$Подставим известные значения:$AC^2 = 37^2 - 35^2$Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$AC^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$Отсюда находим длину катета $AC$:$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь основания призмы:$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 35 \cdot 6 = 210$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём призмы, умножив площадь основания на высоту:$V = S_{осн} \cdot h = 210 \text{ см}^2 \cdot 11 \text{ см} = 2310$ см$^3$.

Ответ: $2310$ см$^3$.