Страница 120 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

440. Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объёмы V₁ и V₂. Выразите объём V тела R через V₁ и V₂, если:

а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек;

б) тела Р и Q имеют общую часть, объём которой равен $\frac{1}{3}$V₁.

а) По условию, тело R является объединением тел P и Q. Мы должны выразить объем $V$ тела R через объемы $V_1$ (тело P) и $V_2$ (тело Q).
В этом пункте сказано, что тела P и Q не имеют общих внутренних точек. Это означает, что объемы этих тел не пересекаются (объем их пересечения равен нулю). Следовательно, объем составного тела R равен простой сумме объемов его частей.
Формула для нахождения общего объема $V$ будет:
$V = V_1 + V_2$

Ответ: $V = V_1 + V_2$

б) В данном случае тела P и Q имеют общую часть, объем которой равен $\frac{1}{3}V_1$. Это означает, что тела пересекаются.
Чтобы найти объем объединения двух пересекающихся тел, необходимо сложить их индивидуальные объемы и вычесть объем их общей части (пересечения), так как в противном случае эта общая часть была бы учтена дважды. Это следует из принципа включений-исключений.
Общая формула для объема объединения $V(P \cup Q)$ выглядит так:
$V = V(P) + V(Q) - V(P \cap Q)$
Подставим в формулу известные нам значения: $V(P) = V_1$, $V(Q) = V_2$ и объем пересечения $V(P \cap Q) = \frac{1}{3}V_1$.
$V = V_1 + V_2 - \frac{1}{3}V_1$
Теперь сгруппируем слагаемые с $V_1$ и упростим выражение:
$V = (1 \cdot V_1 - \frac{1}{3}V_1) + V_2 = (1 - \frac{1}{3})V_1 + V_2 = \frac{2}{3}V_1 + V_2$

Ответ: $V = \frac{2}{3}V_1 + V_2$

441. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и b, а высота равна h, если:

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение сторон его основания ($a$ и $b$) на высоту ($h$). Формула для вычисления объема: $V = a \cdot b \cdot h$.

а)

Дано: $a = 11$, $b = 12$, $h = 15$.

Подставим значения в формулу:

$V = 11 \cdot 12 \cdot 15$

Сначала умножим $11$ на $12$:

$11 \cdot 12 = 132$

Затем результат умножим на $15$:

$132 \cdot 15 = 1980$

Ответ: $1980$.

б)

Дано: $a = 3\sqrt{2}$, $b = \sqrt{5}$, $h = 10\sqrt{10}$.

Подставим значения в формулу:

$V = (3\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}) \cdot (10\sqrt{10})$

Сгруппируем множители:

$V = (3 \cdot 10) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}) = 30 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10}$

Выполним умножение под корнем:

$V = 30 \cdot \sqrt{100}$

Извлечем корень и найдем окончательный объем:

$V = 30 \cdot 10 = 300$

Ответ: $300$.

в)

Дано: $a = 18$, $b = 5\sqrt{3}$, $h = 13$.

Подставим значения в формулу:

$V = 18 \cdot (5\sqrt{3}) \cdot 13$

Сгруппируем целые числа:

$V = (18 \cdot 5 \cdot 13) \cdot \sqrt{3}$

Выполним умножение:

$18 \cdot 5 = 90$

$90 \cdot 13 = 1170$

Таким образом, объем равен:

$V = 1170\sqrt{3}$

Ответ: $1170\sqrt{3}$.

г)

Дано: $a = 3\frac{1}{3}$, $b = \sqrt{5}$, $h = 0,96$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:

$a = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$h = 0,96 = \frac{96}{100} = \frac{24}{25}$

Подставим преобразованные значения в формулу объема:

$V = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{24}{25}$

Перемножим дроби:

$V = \frac{10 \cdot 24}{3 \cdot 25} \cdot \sqrt{5}$

Сократим дробь перед умножением: $10$ и $25$ на $5$, $24$ и $3$ на $3$.

$V = \frac{2 \cdot 8}{1 \cdot 5} \cdot \sqrt{5} = \frac{16}{5}\sqrt{5}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби:

$V = 3,2\sqrt{5}$

Ответ: $\frac{16}{5}\sqrt{5}$.