Номер 454, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

454. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если AB = ВС, ∠ABC = α, диагональ А₁С равна l и составляет с плоскостью основания угол β.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее высота $H$ совпадает с длиной бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AC$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а следовательно, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AC$. Таким образом, $\triangle A_1AC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1AC$.

Угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это по определению угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Следовательно, угол $\angle A_1CA = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AC$ (гипотенуза $A_1C = l$) можно выразить его катеты:
Высоту призмы $H = AA_1 = A_1C \cdot \sin(\angle A_1CA) = l \sin\beta$.
Сторону основания $AC = A_1C \cdot \cos(\angle A_1CA) = l \cos\beta$.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн} = S_{\triangle ABC}$. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $\angle ABC = \alpha$, а длина основания $AC$ нам известна: $AC = l \cos\beta$.

Проведем высоту $BM$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, $BM \perp AC$, $M$ — середина $AC$, и $\angle CBM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BMC$. В нем $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{l \cos\beta}{2}$. Высоту $BM$ можно найти из соотношения:
$\tan(\angle CBM) = \frac{MC}{BM}$, откуда $BM = \frac{MC}{\tan(\angle CBM)} = \frac{l \cos\beta / 2}{\tan(\alpha/2)} = \frac{1}{2} l \cos\beta \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь основания $S_{осн}$ равна половине произведения основания на высоту:
$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} (l \cos\beta) \cdot \left(\frac{1}{2} l \cos\beta \cot\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}\right) \cdot (l \sin\beta) = \frac{1}{4} l^3 \sin\beta \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{4} l^3 \sin\beta \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.