Номер 456, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

456. Найдите объём правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.В данной задаче мы имеем дело с правильной $n$-угольной призмой, у которой все ребра равны $a$. Это значит, что основанием призмы является правильный $n$-угольник со стороной $a$, а высота призмы $h$ также равна $a$.Следовательно, для решения задачи нам необходимо для каждого значения $n$ вычислить площадь соответствующего правильного многоугольника и умножить ее на высоту $a$.

а) n = 3

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Высота призмы $h = a$.Следовательно, объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3$.

б) n = 4

Основанием является правильный четырехугольник (квадрат) со стороной $a$. Так как все ребра равны $a$, данная фигура является кубом.Площадь квадрата со стороной $a$:$S_{осн} = a^2$.Высота призмы $h = a$.Объем куба:$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$.

Ответ: $V = a^3$.

в) n = 6

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Тогда площадь всего шестиугольника:$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.Высота призмы $h = a$.Объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3$.

г) n = 8

Основанием является правильный восьмиугольник со стороной $a$. Общая формула площади правильного $n$-угольника со стороной $a$ выглядит так: $S_n = \frac{na^2}{4} \cot(\frac{180^\circ}{n})$.Для $n=8$ получаем:$S_{осн} = \frac{8a^2}{4} \cot(\frac{180^\circ}{8}) = 2a^2 \cot(22.5^\circ)$.Чтобы найти значение $\cot(22.5^\circ)$, можно использовать формулу половинного угла $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$. Пусть $\alpha = 45^\circ$:$\cot(22.5^\circ) = \frac{1 + \cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.Теперь можем найти площадь основания:$S_{осн} = 2a^2 (1+\sqrt{2})$.Высота призмы $h = a$.Объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 2a^2 (1+\sqrt{2}) \cdot a = 2(1+\sqrt{2})a^3$.

Ответ: $V = 2(1+\sqrt{2})a^3$.