Номер 439, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

439. Конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 130, б). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ; в) φ, если R = 2r.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в сферу. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Пусть $V$ — вершина конуса, а $A$ и $B$ — концы диаметра его основания. Тогда треугольник $VAB$ — это осевое сечение конуса, и он вписан в окружность, являющуюся большим кругом сферы.

Введем обозначения:

• $r$ — радиус основания конуса (длина отрезка $OA$, где $O$ - центр основания, $AB = 2r$).
• $\phi$ — угол при вершине осевого сечения ($\angle AVB = \phi$).
• $R$ — радиус сферы, который также является радиусом окружности, описанной около треугольника $VAB$.

Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива расширенная теорема синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin(\angle AVB)} = 2R$

Подставим в эту формулу наши обозначения ($AB = 2r$ и $\angle AVB = \phi$):

$\frac{2r}{\sin\phi} = 2R$

Упростив это выражение, мы получаем основное соотношение, связывающее радиус основания конуса $r$, радиус сферы $R$ и угол при вершине $\phi$:

$r = R \sin\phi$

Используя это соотношение, решим задачи для каждого пункта.

а) Найти $r$, если известны $R$ и $\phi$.

Из основного соотношения $r = R \sin\phi$ мы можем напрямую выразить $r$. Никаких дополнительных преобразований не требуется.

Ответ: $r = R \sin\phi$

б) Найти $R$, если известны $r$ и $\phi$.

Чтобы найти $R$, выразим его из нашего основного соотношения $r = R \sin\phi$. Для этого нужно разделить обе части уравнения на $\sin\phi$. Это действие корректно, так как $\phi$ является углом при вершине конуса, поэтому $0 < \phi < 180^\circ$ и, следовательно, $\sin\phi > 0$.

$R = \frac{r}{\sin\phi}$

Ответ: $R = \frac{r}{\sin\phi}$

в) Найти $\phi$, если $R=2r$.

Подставим заданное условие $R=2r$ в основное соотношение $r = R \sin\phi$:

$r = (2r) \sin\phi$

Поскольку $r$ — это радиус основания конуса, его значение строго больше нуля ($r > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $r$:

$1 = 2 \sin\phi$

Отсюда находим значение $\sin\phi$:

$\sin\phi = \frac{1}{2}$

Угол $\phi$ должен находиться в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ (или $(0, \pi)$ в радианах), так как это угол при вершине треугольника. В этом интервале уравнение $\sin\phi = 1/2$ имеет два решения:

$\phi_1 = 30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан)

$\phi_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ (или $\frac{5\pi}{6}$ радиан)

Оба решения соответствуют геометрически возможным конфигурациям. Первое решение ($\phi = 30^\circ$) соответствует высокому и узкому конусу, а второе ($\phi = 150^\circ$) — низкому и широкому конусу.

Ответ: $\phi = 30^\circ$ или $\phi = 150^\circ$.