gdz.top
Номер 438, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Цилиндр, конус и шар. Параграф 3. Сфера, дополнительные задачи - номер 438, страница 115.
№437
№438 (с. 115)
Условие. №438 (с. 115)
скриншот условия
438. Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 130, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.
Решение 2. №438 (с. 115)
Решение 4. №438 (с. 115)
Решение 6. №438 (с. 115)
Пусть $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) находится по формуле, которая складывается из площади боковой поверхности и площади двух оснований:
$S_{цил} = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Площадь поверхности сферы ($S_{сф}$) вычисляется по формуле:
$S_{сф} = 4\pi R^2$
Согласно условию задачи, высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть:
$h = 2r$
Подставим это соотношение в формулу площади полной поверхности цилиндра, чтобы выразить ее через одну переменную $r$:
$S_{цил} = 2\pi r(2r) + 2\pi r^2 = 4\pi r^2 + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$
Чтобы найти связь между радиусом цилиндра $r$ и радиусом сферы $R$, рассмотрим осевое сечение. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Так как цилиндр вписан в сферу, этот прямоугольник вписан в большую окружность сферы радиуса $R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$
Так как $h = 2r$, то $\frac{h}{2} = r$. Подставим это значение в уравнение:
$R^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$
Из этого соотношения мы можем выразить $r^2$ через $R^2$:
$r^2 = \frac{R^2}{2}$
Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу площади полной поверхности цилиндра, чтобы выразить ее через $R$:
$S_{цил} = 6\pi r^2 = 6\pi \left(\frac{R^2}{2}\right) = 3\pi R^2$
Наконец, найдем искомое отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы:
$\frac{S_{цил}}{S_{сф}} = \frac{3\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 438 расположенного на странице 115 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №438 (с. 115), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.