Номер 433, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

433. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Обозначим данную правильную треугольную пирамиду $SABC$. Основанием является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Боковое ребро равно $l=2a$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания.

Для дальнейших вычислений найдем ключевые параметры пирамиды. Центр $O$ равностороннего треугольника $ABC$ является центром его вписанной и описанной окружностей. Радиус описанной окружности основания: $R_{осн} = AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высоту пирамиды $H=SO$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора: $H^2 = SA^2 - AO^2 = (2a)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 4a^2 - \frac{3a^2}{9} = 4a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{12a^2 - a^2}{3} = \frac{11a^2}{3}$. Следовательно, высота $H = \sqrt{\frac{11a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$.

Радиус вписанной сферы

Центр вписанной сферы находится на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности.

1. Вычислим объем пирамиды $V$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{33}}{3} = \frac{a^3\sqrt{99}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{11}}{36} = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}$.

2. Вычислим площадь полной поверхности $S_{полн}$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. Для нахождения площади боковой поверхности $S_{бок}$ нам необходима апофема пирамиды $h_a$ (высота боковой грани). Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Апофема $h_a = SM$. Найдем ее из прямоугольного треугольника $SMC$: $h_a = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{15a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$. Площадь боковой поверхности, состоящей из трех одинаковых треугольников: $S_{бок} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM\right) = 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{15}}{4}$. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2\sqrt{15}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}(1+3\sqrt{5})}{4}$.

3. Вычислим радиус вписанной сферы $r$: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{11}}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}(1+3\sqrt{5})}{4}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{11}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}(1+3\sqrt{5})}{4}} = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}(1+3\sqrt{5})}$. Упростим выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{a\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}(1+3\sqrt{5})} = \frac{a\sqrt{33}}{3(1+3\sqrt{5})} = \frac{a\sqrt{33}(3\sqrt{5}-1)}{3(3\sqrt{5}+1)(3\sqrt{5}-1)} = \frac{a\sqrt{33}(3\sqrt{5}-1)}{3(45-1)} = \frac{a(3\sqrt{165}-\sqrt{33})}{3 \cdot 44} = \frac{a(3\sqrt{165}-\sqrt{33})}{132}$.

Ответ: $r = \frac{a(3\sqrt{165}-\sqrt{33})}{132}$.

Радиус описанной сферы

Центр описанной сферы также лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус описанной сферы $R$ для правильной пирамиды можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ — длина бокового ребра, а $H$ — высота пирамиды.

В нашей задаче $l = 2a$ и, как мы нашли ранее, $H = \frac{a\sqrt{33}}{3}$. Подставим эти значения в формулу: $R = \frac{(2a)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{33}}{3}} = \frac{4a^2}{\frac{2a\sqrt{33}}{3}} = \frac{4a^2 \cdot 3}{2a\sqrt{33}} = \frac{12a^2}{2a\sqrt{33}} = \frac{6a}{\sqrt{33}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{6a \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{33} \cdot \sqrt{33}} = \frac{6a\sqrt{33}}{33} = \frac{2a\sqrt{33}}{11}$.

Ответ: $R = \frac{2a\sqrt{33}}{11}$.