Номер 427, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

427. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр.

а) Если куб описан около сферы радиуса $R$, то сфера касается центров всех шести граней куба. Расстояние между противоположными гранями куба равно его ребру $a$ и одновременно диаметру вписанной сферы $2R$.

Следовательно, ребро куба $a = 2R$.

Площадь полной поверхности куба $S_{полн}$ равна сумме площадей его шести граней. Площадь одной грани (квадрата) равна $a^2$.

$S_{полн} = 6a^2$

Подставим значение $a = 2R$ в формулу:

$S_{полн} = 6 \cdot (2R)^2 = 6 \cdot 4R^2 = 24R^2$

Ответ: $24R^2$

б) Если правильная шестиугольная призма описана около сферы радиуса $R$, то сфера касается верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней призмы.

1. Касание оснований означает, что высота призмы $H$ равна диаметру сферы, то есть $H = 2R$.

2. Касание боковых граней означает, что расстояние от центра сферы (который лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований) до боковых граней равно радиусу $R$. Это расстояние равно радиусу окружности, вписанной в основание призмы (правильный шестиугольник). Обозначим его $r_{осн}$. Таким образом, $r_{осн} = R$.

Радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем его к $R$: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отсюда выразим сторону основания $a$: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь правильного шестиугольника (основания) со стороной $a$: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставим $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$.

Площадь боковой поверхности — это площадь шести прямоугольников со сторонами $a$ и $H$: $S_{бок} = 6 \cdot a \cdot H$.

Подставим $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ и $H = 2R$:$S_{бок} = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot 2R = \frac{24R^2}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}R^2}{3} = 8\sqrt{3}R^2$.

Теперь найдем полную площадь поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot (2\sqrt{3}R^2) + 8\sqrt{3}R^2 = 4\sqrt{3}R^2 + 8\sqrt{3}R^2 = 12\sqrt{3}R^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}R^2$

в) Правильный тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Если тетраэдр описан около сферы, то сфера касается всех четырех его граней.

Радиус $R$ вписанной в правильный тетраэдр сферы связан с длиной его ребра $a$ формулой:

$R = \frac{a}{2\sqrt{6}}$

Из этой формулы выразим ребро тетраэдра $a$ через радиус $R$:

$a = 2\sqrt{6}R$

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$ равна сумме площадей его четырех граней. Площадь одной грани (равностороннего треугольника) со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:

$S_{полн} = (2\sqrt{6}R)^2 \cdot \sqrt{3} = (4 \cdot 6 \cdot R^2) \cdot \sqrt{3} = 24R^2\sqrt{3}$

Ответ: $24\sqrt{3}R^2$