Номер 421, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

421. Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Пусть тело ограничено двумя концентрическими сферами с общим центром $O$. Обозначим радиус внешней сферы как $R$, а радиус внутренней сферы как $r$, где $R > r$.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, которая проходит через общий центр $O$. Такая плоскость пересекает внешнюю сферу по большому кругу радиусом $R$, а внутреннюю сферу — по большому кругу радиусом $r$. Сечение самого тела (области между сферами) будет представлять собой кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с радиусами $R$ и $r$.

Площадь этого кольца, обозначим её $S_1$, вычисляется как разность площадей большего и меньшего кругов:
$S_1 = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Теперь рассмотрим сечение тела плоскостью $\alpha$, которая касается внутренней сферы. Это означает, что расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ равно радиусу внутренней сферы, то есть $r$.

Эта же плоскость $\alpha$ пересекает внешнюю сферу, образуя в сечении круг. Поскольку плоскость касается внутренней сферы в одной точке, сечением всего тела является именно этот круг. Найдем его радиус, который обозначим $r_{сеч}$.

Для нахождения радиуса сечения рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является радиус внешней сферы $R$ (отрезок от центра $O$ до точки на окружности сечения), а катетами — перпендикуляр из центра $O$ на плоскость сечения (его длина равна $r$) и искомый радиус сечения $r_{сеч}$.

По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + r_{сеч}^2$

Отсюда квадрат радиуса сечения равен:
$r_{сеч}^2 = R^2 - r^2$

Площадь этого кругового сечения, обозначим её $S_2$, равна:
$S_2 = \pi r_{сеч}^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Сравнивая полученные результаты для $S_1$ и $S_2$, мы видим, что они равны:
$S_1 = S_2 = \pi(R^2 - r^2)$.
Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площади указанных сечений равны, так как площадь каждого из них равна $\pi(R^2 - r^2)$, где $R$ и $r$ — радиусы внешней и внутренней сфер соответственно.