Номер 419, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

419. Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причём ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 2φ, AD = BD = CD. Найдите: а) AB и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.

Точки $A, B, C, D$ образуют тетраэдр, вписанный в сферу радиуса $R$. Из условий $AD = BD = CD$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2\phi$ следует, что треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство их оснований: $AB = BC = CA$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним, а тетраэдр $DABC$ — правильной пирамидой с вершиной $D$ и основанием $ABC$.

а) Найдем длины ребер $AB$ и $AD$.

Пусть $d = AD = BD = CD$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ADB$. По теореме косинусов найдем сторону $AB$:

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$

$AB^2 = d^2 + d^2 - 2d^2 \cos(2\phi) = 2d^2(1 - \cos(2\phi))$

Используя формулу понижения степени $1 - \cos(2\phi) = 2\sin^2\phi$, получаем:

$AB^2 = 2d^2(2\sin^2\phi) = 4d^2\sin^2\phi$

$AB = 2d\sin\phi$

Центр $O$ описанной сферы лежит на высоте $DH$ пирамиды $DABC$, где $H$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Обозначим высоту пирамиды $DH$ через $h$, а радиус описанной окружности основания $\triangle ABC$ через $r_{ABC}$. Для правильной пирамиды, вписанной в сферу радиуса $R$, выполняется соотношение $d^2 = 2Rh$.

Радиус $r_{ABC}$ связан со стороной основания $AB$ как $r_{ABC} = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2d\sin\phi}{\sqrt{3}}$.

Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ADH$:

$h^2 = AD^2 - AH^2 = d^2 - r_{ABC}^2 = d^2 - \left(\frac{2d\sin\phi}{\sqrt{3}}\right)^2 = d^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)$

$h = d\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Теперь подставим $h$ в соотношение $d^2 = 2Rh$:

$d^2 = 2Rd\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Поскольку $d \ne 0$, можем разделить обе части на $d$:

$d = 2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Это и есть искомая длина $AD$. Теперь найдем $AB$:

$AB = 2d\sin\phi = 2\left(2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}\right)\sin\phi = 4R\sin\phi\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Для существования такого тетраэдра необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным: $1 - \frac{4\sin^2\phi}{3} > 0$, что дает $\sin\phi < \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $0 < \phi < 60^\circ$.

Ответ: $AD = 2R\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\phi}$; $AB = 4R\sin\phi\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\phi}$.

б) Найдем площадь сечения сферы плоскостью $ABC$.

Сечением сферы плоскостью является круг. В данном случае плоскость $ABC$ пересекает сферу по окружности, которая является описанной окружностью для треугольника $\triangle ABC$. Площадь этого круга $S$ равна $S = \pi r_{ABC}^2$, где $r_{ABC}$ — радиус этой окружности.

Из соотношений для пирамиды, вписанной в сферу, $d^2 = 2Rh$ и $d^2 = h^2 + r_{ABC}^2$, выразим $r_{ABC}^2$.

Из первого соотношения $h = \frac{d^2}{2R}$. Подставим во второе:

$d^2 = \left(\frac{d^2}{2R}\right)^2 + r_{ABC}^2$

$r_{ABC}^2 = d^2 - \frac{d^4}{4R^2} = d^2\left(1 - \frac{d^2}{4R^2}\right)$

Из пункта а) известно, что $d^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)$. Подставим это выражение:

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(1 - \frac{4R^2(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3})}{4R^2}\right)$

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(1 - \left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\right)$

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(\frac{4\sin^2\phi}{3}\right) = \frac{16R^2\sin^2\phi}{3}\left(\frac{3 - 4\sin^2\phi}{3}\right)$

$r_{ABC}^2 = \frac{16R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi)$

Площадь сечения $S$ равна:

$S = \pi r_{ABC}^2 = \frac{16\pi R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi)$

Это выражение можно упростить, заметив, что $\sin\phi\sin(3\phi) = \sin\phi(3\sin\phi - 4\sin^3\phi) = 3\sin^2\phi - 4\sin^4\phi = \sin^2\phi(3-4\sin^2\phi)$.

$S = \frac{16\pi R^2}{9}\sin\phi\sin(3\phi)$

Ответ: $S = \frac{16\pi R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi) = \frac{16\pi R^2}{9}\sin\phi\sin(3\phi)$.