Номер 413, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

413. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм². Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. Пусть ее основания (диаметры оснований конуса) равны $D_1$ и $D_2$, а высота равна $h$. По условию задачи, диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{D_1+D_2}{2} \cdot h$.

Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна полусумме оснований: $h = \frac{D_1+D_2}{2}$.

Подставим выражение для высоты в формулу площади, чтобы связать площадь с основаниями:

$S = \frac{D_1+D_2}{2} \cdot \frac{D_1+D_2}{2} = \left(\frac{D_1+D_2}{2}\right)^2$

По условию, площадь осевого сечения $S = 36 \text{ дм}^2$. Следовательно:

$36 = \left(\frac{D_1+D_2}{2}\right)^2$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\frac{D_1+D_2}{2} = \sqrt{36} = 6 \text{ дм}$

Отсюда мы можем найти высоту усеченного конуса, так как она равна полусумме оснований трапеции:

$h = 6 \text{ дм}$.

Также находим сумму диаметров оснований конуса:

$D_1+D_2 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ дм}$.

В условии дано, что одно из оснований осевого сечения равно $40 \text{ см}$. Переведем эту величину в дециметры, чтобы все единицы были согласованы:

$40 \text{ см} = 4 \text{ дм}$.

Поскольку $4 < 12$, это одно из двух оснований. Примем его за диаметр меньшего основания: $D_2 = 4 \text{ дм}$. Тогда диаметр большего основания равен:

$D_1 = 12 - D_2 = 12 - 4 = 8 \text{ дм}$.

Теперь найдем радиусы оснований усеченного конуса:

Радиус большего основания: $R = \frac{D_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ дм}$.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{D_2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ дм}$.

Для вычисления площадей поверхностей нам понадобится образующая усеченного конуса $l$. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — сама образующая $l$.

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{6^2 + (4-2)^2} = \sqrt{36 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ дм}$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площадей.

Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставляем найденные значения $R$, $r$ и $l$:

$S_{бок} = \pi(4+2) \cdot 2\sqrt{10} = \pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{10} = 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Ответ: $12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Вычисление площади полной поверхности

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух его оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Сначала найдем площади оснований:

Площадь большего основания: $S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ дм}^2$.

Площадь меньшего основания: $S_{осн2} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ дм}^2$.

Теперь складываем все три площади:

$S_{полн} = 12\pi\sqrt{10} + 16\pi + 4\pi = 20\pi + 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Для более компактной записи можно вынести общий множитель $4\pi$ за скобки:

$S_{полн} = 4\pi(5 + 3\sqrt{10}) \text{ дм}^2$.

Ответ: $20\pi + 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$ или $4\pi(5 + 3\sqrt{10}) \text{ дм}^2$.