Номер 415, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

415. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере. а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

а)

Поскольку вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере, то плоскость треугольника пересекает сферу по окружности, которая является описанной около этого треугольника. Центр сферы, центр этой окружности и любая из вершин треугольника образуют прямоугольный треугольник.

Пусть $a = 1,8$ см и $b = 2,4$ см — катеты данного прямоугольного треугольника. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус этой окружности $r$ равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Радиус сферы $R$, радиус описанной окружности (сечения) $r$ и расстояние $d$ от центра сферы до плоскости треугольника связаны соотношением: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию задачи, радиус сферы $R = 1,5$ см. Сравним его с радиусом описанной окружности $r = 1,5$ см.

Так как $R = r$, то из формулы $R^2 = r^2 + d^2$ следует:

$1,5^2 = 1,5^2 + d^2$

$d^2 = 0$, что означает $d=0$.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно нулю, следовательно, центр сферы лежит в плоскости треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Для нахождения расстояния от центра сферы до плоскости треугольника воспользуемся той же формулой $R^2 = r^2 + d^2$.

Из пункта а) мы знаем, что радиус окружности, описанной около треугольника, равен $r = 1,5$ см. По условию данного пункта, радиус сферы $R = 6,5$ см.

Подставим известные значения в формулу и найдем искомое расстояние $d$:

$6,5^2 = 1,5^2 + d^2$

$d^2 = 6,5^2 - 1,5^2$

Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов:

$d^2 = (6,5 - 1,5)(6,5 + 1,5) = 5 \cdot 8 = 40$

$d = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.