Номер 422, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

422. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим прямую треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, вписанную в цилиндр. Условие "вписанная в цилиндр" означает, что основания призмы, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы параллельны оси цилиндра, из-за чего призма является прямой.

Пусть одна из боковых граней, например, $ABB_1A_1$, проходит через ось цилиндра. Ось цилиндра соединяет центры $O$ и $O_1$ его оснований. Если плоскость, содержащая грань $ABB_1A_1$, содержит и ось цилиндра, то прямая, содержащая сторону $AB$ основания, должна проходить через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Следовательно, сторона $AB$ треугольника $ABC$ является диаметром этой окружности.

Рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании призмы. По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. В треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник в основании призмы — прямоугольный.

Две другие боковые грани призмы — это $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Угол между плоскостями этих граней — это двугранный угол, образованный ими. Линией пересечения этих плоскостей является боковое ребро $CC_1$.

Так как призма прямая, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Из этого следует, что $CC_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp BC$.

По определению, мерой двугранного угла является его линейный угол. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к ребру двугранного угла в его гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AC$ и $BC$ — это перпендикуляры к ребру $CC_1$ в точке $C$. Следовательно, линейный угол двугранного угла между гранями $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен углу $\angle ACB$.

Поскольку мы ранее установили, что $\angle ACB = 90^\circ$, то и угол между гранями $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен $90^\circ$. Таким образом, эти две грани взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано; две другие грани действительно взаимно перпендикулярны.