Номер 429, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

429. Докажите, что если в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани.

Рассмотрим правильную усеченную четырехугольную пирамиду. Пусть стороны ее оснований равны $a$ и $b$ (где $a$ — сторона большего основания, а $b$ — сторона меньшего), а апофема (высота боковой грани) равна $h_a$.

По условию, в эту пирамиду можно вписать сферу. Сфера, вписанная в многогранник, касается всех его граней. Это означает, что сфера касается обоих оснований (нижнего и верхнего) и всех четырех боковых граней пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через середины двух противоположных сторон оснований. Поскольку пирамида правильная, это сечение будет перпендикулярно этим сторонам.

В результате такого сечения мы получим равнобокую трапецию.

• Основаниями этой трапеции будут отрезки, соединяющие середины противоположных сторон квадратов, лежащих в основаниях пирамиды. Длины этих отрезков равны сторонам оснований, то есть $a$ и $b$.
• Боковыми сторонами этой трапеции будут апофемы пирамиды, то есть отрезки длиной $h_a$.
• Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H$.

Так как вписанная сфера касается оснований и боковых граней пирамиды, ее сечение нашей плоскостью будет представлять собой окружность, вписанную в полученную равнобокую трапецию. Эта окружность будет касаться оснований трапеции (отрезков $a$ и $b$) и ее боковых сторон (отрезков $h_a$).

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность (такой четырехугольник называется описанным), существует свойство: суммы длин его противоположных сторон равны.

Применим это свойство к нашей равнобокой трапеции. Сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон:

$a + b = h_a + h_a$

$a + b = 2h_a$

Выразим из этого равенства апофему $h_a$:

$h_a = \frac{a+b}{2}$

Таким образом, мы доказали, что апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований. Так как боковая грань является трапецией со сторонами оснований $a$ и $b$, то утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то ее апофема равна полусумме сторон оснований ее боковой грани, что соответствует полусумме сторон оснований самой пирамиды.