Номер 430, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

430. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или её продолжении.

а)

Рассмотрим правильную n-угольную призму. Обозначим центры ее нижнего и верхнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Поскольку призма правильная, ее основания — это равные правильные n-угольники, а отрезок $O_1O_2$ перпендикулярен плоскостям оснований и является высотой призмы. Пусть $h$ — высота призмы, то есть $h = |O_1O_2|$.

Пусть $O$ — центр сферы, описанной около призмы. По определению, точка $O$ равноудалена от всех вершин призмы. Обозначим радиус описанной сферы как $R$.

Рассмотрим вершины нижнего основания $A_1, A_2, \dots, A_n$. Так как точка $O$ равноудалена от них ($OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n = R$), она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости нижнего основания и проходящей через центр описанной около него окружности, то есть через точку $O_1$.

Аналогично, рассмотрим вершины верхнего основания $B_1, B_2, \dots, B_n$. Так как точка $O$ равноудалена и от них ($OB_1 = OB_2 = \dots = OB_n = R$), она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости верхнего основания и проходящей через его центр $O_2$.

Поскольку основания призмы параллельны, а боковые ребра перпендикулярны основаниям, прямые, перпендикулярные основаниям и проходящие через их центры $O_1$ и $O_2$, совпадают. Эта прямая содержит высоту призмы $O_1O_2$. Следовательно, центр сферы $O$ лежит на отрезке $O_1O_2$.

Теперь докажем, что $O$ — середина отрезка $O_1O_2$. Пусть $A_i$ — произвольная вершина нижнего основания, а $B_i$ — соответствующая ей вершина верхнего основания. Радиус окружности, описанной около основания, обозначим как $r$. Тогда $|O_1A_i| = r$ и $|O_2B_i| = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1A_i$ (угол $\angle OO_1A_i = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $R^2 = |OA_i|^2 = |OO_1|^2 + |O_1A_i|^2 = |OO_1|^2 + r^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_2B_i$ (угол $\angle OO_2B_i = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $R^2 = |OB_i|^2 = |OO_2|^2 + |O_2B_i|^2 = |OO_2|^2 + r^2$.

Приравнивая выражения для $R^2$, получаем: $|OO_1|^2 + r^2 = |OO_2|^2 + r^2$ $|OO_1|^2 = |OO_2|^2$ $|OO_1| = |OO_2|$.

Так как точка $O$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и равноудалена от его концов $O_1$ и $O_2$, она является его серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Рассмотрим правильную пирамиду $SA_1A_2...A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1A_2...A_n$ — основание, которое является правильным n-угольником. Пусть $O_b$ — центр этого многоугольника. По определению правильной пирамиды, ее высота есть отрезок $SO_b$, перпендикулярный плоскости основания.

Пусть $O$ — центр сферы, описанной около пирамиды. По определению, центр сферы — это точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. Обозначим радиус сферы как $R$. Таким образом, $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n = OS = R$.

Из равенства расстояний от точки $O$ до вершин основания ($OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$) следует, что точка $O$ принадлежит геометрическому месту точек пространства, равноудаленных от вершин правильного многоугольника $A_1A_2...A_n$. Этим геометрическим местом является прямая, проходящая через центр $O_b$ этого многоугольника и перпендикулярная его плоскости.

Как было указано, высота правильной пирамиды $SO_b$ также лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр $O_b$.

Следовательно, центр описанной сферы $O$ должен лежать на прямой, содержащей высоту $SO_b$. Эта прямая и есть высота пирамиды или ее продолжение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.