Номер 426, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

426. Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. По определению, её основание — это правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Прямая, содержащая высоту пирамиды, является её осью симметрии.

Сфера называется вписанной в пирамиду, если она касается всех её граней: основания и всех боковых граней. Пусть $C$ — центр такой сферы.

По определению касания, расстояние от центра сферы $C$ до каждой грани пирамиды одинаково и равно радиусу сферы. Иначе говоря, точка $C$ является точкой, равноудалённой от всех плоскостей граней пирамиды.

Доказательство того, что центр $C$ лежит на высоте пирамиды, наиболее наглядно проводится с использованием свойства симметрии правильной пирамиды.

Высота правильной пирамиды является её осью вращения. Поворот вокруг высоты на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ (где $n$ — число сторон многоугольника в основании) совмещает пирамиду саму с собой. При таком повороте каждая боковая грань переходит в следующую, а основание — в себя.

Поскольку в многогранник можно вписать только одну сферу, эта сфера единственна. Следовательно, она также должна быть симметрична относительно оси симметрии пирамиды. Это означает, что при указанном повороте вписанная сфера должна совместиться сама с собой.

Сфера совмещается сама с собой при повороте вокруг некоторой оси только в том случае, если её центр лежит на этой оси. Таким образом, центр вписанной сферы $C$ должен лежать на оси симметрии пирамиды, то есть на её высоте.

Этот же результат можно получить и более конструктивным геометрическим методом. Центр вписанной сферы $C$ должен лежать на биссекторной плоскости каждого двугранного угла пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $SO$ и апофему $SM$ (где $S$ — вершина, $O$ — центр основания, $M$ — середина стороны основания). В этом сечении (треугольнике $SOM$) точка $C$ будет лежать на биссектрисе угла $\angle SMO$, который является линейным углом двугранного угла при основании. Поскольку аналогичные сечения можно провести через любую апофему, и все они имеют общую линию пересечения — высоту $SO$, то центр сферы $C$ должен лежать на этой высоте.

Ответ: Утверждение доказано. В силу симметрии правильной пирамиды её высота является осью симметрии. Вписанная в пирамиду сфера также должна обладать этой симметрией, а значит, её центр должен лежать на оси симметрии, то есть на высоте пирамиды.