Номер 432, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

432. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.

а) Пусть сторона вписанного в сферу куба равна $a$. Диагональ куба $d$ совпадает с диаметром сферы $D$. Диаметр сферы равен $2R$.

Связь между диагональю куба и его стороной выражается формулой $d = a\sqrt{3}$.

Приравниваем диагональ куба к диаметру сферы:

$a\sqrt{3} = 2R$

Отсюда находим сторону куба $a$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Площадь полной поверхности куба $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = 6a^2$. Подставим найденное значение $a$:

$S_{полн} = 6 \cdot \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3} = 2 \cdot 4R^2 = 8R^2$

Ответ: $8R^2$

б) Рассмотрим правильную шестиугольную призму, вписанную в сферу. Высота призмы $H = R$. Пусть сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$.

Все вершины призмы лежат на поверхности сферы. Центр сферы совпадает с серединой высоты призмы. Расстояние от центра сферы до центра каждого из оснований призмы равно $\frac{H}{2} = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{R}{2}$ (катет) и радиусом окружности, описанной около основания призмы (второй катет). Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + a^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + a^2$

$a^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$a = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн} = 6a$ - периметр основания.

$S_{бок} = 6aH = 6 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} \cdot R = 3\sqrt{3}R^2$

Площадь основания (правильного шестиугольника): $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3R^2}{4} = \frac{9\sqrt{3}R^2}{8}$

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 3\sqrt{3}R^2 + 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}R^2}{8} = 3\sqrt{3}R^2 + \frac{9\sqrt{3}R^2}{4}$

$S_{полн} = \frac{12\sqrt{3}R^2 + 9\sqrt{3}R^2}{4} = \frac{21\sqrt{3}R^2}{4}$

Ответ: $\frac{21\sqrt{3}}{4}R^2$

в) Рассмотрим правильный тетраэдр, вписанный в сферу. Пусть ребро тетраэдра равно $a$.

Радиус $R$ сферы, описанной около правильного тетраэдра со стороной $a$, связан с длиной ребра следующей формулой:

$R = a\frac{\sqrt{6}}{4}$

Выразим сторону тетраэдра $a$ через радиус $R$:

$a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра $S_{полн}$ состоит из четырех площадей равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника со стороной $a$ равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь полной поверхности тетраэдра:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:

$S_{полн} = \left(\frac{2R\sqrt{6}}{3}\right)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{4R^2 \cdot 6}{9} \cdot \sqrt{3} = \frac{24R^2}{9} \cdot \sqrt{3} = \frac{8R^2}{3}\sqrt{3}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2$