Номер 434, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

434. В правильной четырёхугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырехугольной пирамиды, $H$ — ее высота, $r$ — радиус вписанной сферы, $R$ — радиус описанной сферы. По условию $r = 2$ см и $R = 5$ см. Центры вписанной и описанной сфер лежат на высоте пирамиды.

1. Найдем связь между $R$, $a$ и $H$.
Центр описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину. В сечении получается равнобедренный треугольник, у которого основание — диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, а боковые стороны — боковые ребра пирамиды. Пусть $O_c$ — центр описанной сферы, лежащий на высоте $SO$ на расстоянии $y$ от центра основания $O$. Расстояние от $O_c$ до вершины основания (например, $A$) равно $R$, и расстояние до вершины пирамиды $S$ также равно $R$. Из прямоугольного треугольника с катетами $O_cO$ и $OA$ (половина диагонали) имеем: $R^2 = y^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = y^2 + \frac{a^2}{2}$. Расстояние от $O_c$ до вершины $S$: $R = |H - y|$. Так как $R < H$ (что мы проверим позже), можно считать $y = H - R$. Подставим $y$ в первое уравнение: $R^2 = (H-R)^2 + \frac{a^2}{2}$ $R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + \frac{a^2}{2}$ $2HR = H^2 + \frac{a^2}{2}$ Подставим $R=5$: $10H = H^2 + \frac{a^2}{2}$ $20H = 2H^2 + a^2 \implies a^2 = 20H - 2H^2 = 2H(10-H)$.

2. Найдем связь между $r$, $a$ и $H$.
Центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных боковых граней. В сечении — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и высотой $H$. Центр вписанной сферы является центром окружности, вписанной в это сечение. Радиус вписанной окружности для этого треугольника равен $r$. Апофема (боковая сторона сечения) $l = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2}$. Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S_{сеч}}{p_{сеч}}$, где $S_{сеч}$ — площадь сечения, а $p_{сеч}$ — полупериметр. $S_{сеч} = \frac{1}{2}aH$ $p_{сеч} = \frac{a + 2l}{2} = \frac{a + 2\sqrt{H^2 + a^2/4}}{2} = \frac{a + \sqrt{4H^2 + a^2}}{2}$ $r = \frac{\frac{1}{2}aH}{\frac{a + \sqrt{4H^2 + a^2}}{2}} = \frac{aH}{a + \sqrt{a^2 + 4H^2}}$ Подставим $r=2$: $2 = \frac{aH}{a + \sqrt{a^2 + 4H^2}}$ $2(a + \sqrt{a^2 + 4H^2}) = aH$ $2\sqrt{a^2 + 4H^2} = aH - 2a = a(H-2)$ Возведем обе части в квадрат (при условии $H>2$): $4(a^2 + 4H^2) = a^2(H-2)^2$ $4a^2 + 16H^2 = a^2(H^2 - 4H + 4)$ $4a^2 + 16H^2 = a^2H^2 - 4a^2H + 4a^2$ $16H^2 = a^2H^2 - 4a^2H$ Так как $H \neq 0$, разделим на $H$: $16H = a^2H - 4a^2 = a^2(H-4)$. Отсюда $a^2 = \frac{16H}{H-4}$ (при условии $H>4$).

3. Решим систему уравнений.
Мы получили два выражения для $a^2$: 1) $a^2 = 2H(10-H)$ 2) $a^2 = \frac{16H}{H-4}$ Приравняем их: $2H(10-H) = \frac{16H}{H-4}$ Так как $H>4$, $H \neq 0$, можем разделить на $H$: $2(10-H) = \frac{16}{H-4}$ $(10-H)(H-4) = 8$ $10H - 40 - H^2 + 4H = 8$ $-H^2 + 14H - 48 = 0$ $H^2 - 14H + 48 = 0$ Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $H_1 + H_2 = 14$ $H_1 \cdot H_2 = 48$ Корни уравнения: $H_1 = 6$ и $H_2 = 8$. Оба корня удовлетворяют условию $4 < H < 10$. Следовательно, задача имеет два решения.

Найдем сторону основания и высоту пирамиды для каждого случая.

Случай 1.
Если высота $H = 6$ см. Найдем сторону основания $a$: $a^2 = 2 \cdot 6 \cdot (10 - 6) = 12 \cdot 4 = 48$ $a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: сторона основания $4\sqrt{3}$ см, высота пирамиды $6$ см.

Случай 2.
Если высота $H = 8$ см. Найдем сторону основания $a$: $a^2 = 2 \cdot 8 \cdot (10 - 8) = 16 \cdot 2 = 32$ $a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: сторона основания $4\sqrt{2}$ см, высота пирамиды $8$ см.