Номер 437, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

437. В конус вписана сфера радиуса r. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен α.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi RL = \pi R(R + L)$,

где $R$ – радиус основания конуса, $L$ – длина его образующей.

Для решения задачи необходимо выразить $R$ и $L$ через известные величины: радиус вписанной сферы $r$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $r$ (которая является сечением вписанной сферы). Обозначим вершины этого треугольника $A$, $B$, $C$, где $AC$ и $BC$ - образующие, а $AB$ - диаметр основания. Высота конуса $CO$ является и высотой, и медианой, и биссектрисой этого треугольника.

Угол между образующей и основанием конуса по условию равен $\alpha$, значит $\angle CAO = \alpha$.

Нахождение радиуса основания конуса (R)

Центр вписанной сферы (в нашем сечении - центр вписанной окружности) лежит на высоте конуса $CO$. Обозначим его точкой $Q$. Расстояние от центра $Q$ до основания $AO$ равно радиусу сферы $r$, то есть $QO=r$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Следовательно, луч $AQ$ является биссектрисой угла $\angle CAO$. Таким образом, $\angle QAO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AQO$. В нем катет $QO = r$, катет $AO = R$. Из определения тангенса угла имеем:

$\tan(\angle QAO) = \frac{QO}{AO} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус основания конуса $R$:

$R = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$

Нахождение образующей конуса (L)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CAO$. В нем катет $AO = R$, гипотенуза $AC = L$ и угол $\angle CAO = \alpha$. Из определения косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{AO}{AC} = \frac{R}{L}$

Отсюда выражаем образующую $L$:

$L = \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Вычисление площади полной поверхности конуса

Подставим найденные соотношения в формулу полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi R(R + L) = \pi R(R + \frac{R}{\cos(\alpha)}) = \pi R^2 (1 + \frac{1}{\cos(\alpha)})$

$S_{полн} = \pi R^2 \frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $R = r \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$:

$S_{полн} = \pi (r \cdot \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \frac{1 + \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \pi r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \frac{1 + \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Для упрощения итогового выражения воспользуемся тригонометрической формулой для котангенса половинного угла:

$\cot^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)}$

Подставим это тождество в нашу формулу площади:

$S_{полн} = \pi r^2 \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$S_{полн} = \pi r^2 \frac{(1 + \cos(\alpha))^2}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))}$

Ответ: $S_{полн} = \pi r^2 \frac{(1 + \cos(\alpha))^2}{\cos(\alpha)(1 - \cos(\alpha))}$