Номер 428, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

428. Около сферы радиуса R описана правильная четырёхугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α.

а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, α = 60°.

а)

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $S$ – вершина. Пусть $O$ – центр основания, тогда $SO$ – высота пирамиды $H$. Пусть $a$ – сторона основания ($AB=BC=CD=DA=a$), а $h_a$ – апофема пирамиды (высота боковой грани, например, $SM \perp BC$, где $M$ – середина $BC$).

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней: $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SBC} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_a = 2ah_a$.

Рассмотрим боковую грань – равнобедренный треугольник $SBC$. Угол при вершине $\angle BSC = \alpha$. Апофема $SM$ является также биссектрисой, поэтому $\angle BSM = \frac{\alpha}{2}$. В прямоугольном треугольнике $SMB$ имеем: $BM = \frac{a}{2}$. $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{BM}{SM} = \frac{a/2}{h_a}$.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных граней, например, $SM$ и $SN$ (где $N$ - середина $AD$). Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $MSN$. $SO$ - его высота, $MN = a$. Вписанная в пирамиду сфера касается основания в точке $O$ и боковых граней в точках, лежащих на апофемах. Центр сферы $O_s$ лежит на высоте $SO$, и расстояние от $O_s$ до плоскости основания равно радиусу $R$, то есть $O_sO = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Угол $\angle SMO = \beta$ – это двугранный угол при ребре основания. В этом треугольнике: $OM = \frac{a}{2}$. $\cos(\beta) = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{h_a}$.

Сравнивая выражения для $\frac{a/2}{h_a}$ из треугольников $SMB$ и $SOM$, получаем важную связь между плоским углом при вершине $\alpha$ и двугранным углом при основании $\beta$: $\cos(\beta) = \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь свяжем параметры пирамиды с радиусом вписанной сферы $R$. В сечении $MSN$ вписанная сфера выглядит как окружность радиуса $R$, вписанная в треугольник $MSN$. Центр этой окружности $O_s$ лежит на высоте $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOM$ проведем биссектрису угла $\beta$, она пройдет через центр вписанной окружности $O_s$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_sOM$, образованный катетами $O_sO=R$ и $OM=\frac{a}{2}$. Угол $\angle O_sMO = \frac{\beta}{2}$. Из этого треугольника: $\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{O_sO}{OM} = \frac{R}{a/2} = \frac{2R}{a}$. Отсюда выразим сторону основания $a$: $a = \frac{2R}{\tan(\frac{\beta}{2})} = 2R \cot(\frac{\beta}{2})$.

Теперь выразим площадь боковой поверхности через $R$ и $\beta$: $S_{бок} = 2ah_a = 2a \cdot \frac{a/2}{\cos\beta} = \frac{a^2}{\cos\beta}$. Подставляем выражение для $a$: $S_{бок} = \frac{(2R \cot(\frac{\beta}{2}))^2}{\cos\beta} = \frac{4R^2 \cot^2(\frac{\beta}{2})}{\cos\beta}$.

Используем тригонометрическую формулу для половинного угла: $\cot^2(\frac{\beta}{2}) = \frac{1+\cos\beta}{1-\cos\beta}$. $S_{бок} = \frac{4R^2}{\cos\beta} \cdot \frac{1+\cos\beta}{1-\cos\beta}$.

Наконец, заменим $\cos\beta$ на $\tan(\frac{\alpha}{2})$: $S_{бок} = \frac{4R^2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{1+\tan(\frac{\alpha}{2})}{1-\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{4R^2(1+\tan(\frac{\alpha}{2}))}{\tan(\frac{\alpha}{2})(1-\tan(\frac{\alpha}{2}))}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{4R^2(1+\tan(\frac{\alpha}{2}))}{\tan(\frac{\alpha}{2}) - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$

б)

Вычислим площадь при $R=5$ см и $\alpha=60^\circ$. Сначала найдем значение $\tan(\frac{\alpha}{2})$: $\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу: $S_{бок} = \frac{4 \cdot 5^2 \cdot (1+\frac{1}{\sqrt{3}})}{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{100 \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{100 \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{3}}$.

$S_{бок} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}-1} = 100 \cdot \frac{3(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}$. $S_{бок} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$: $S_{бок} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2}$. $S_{бок} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}(3+2\sqrt{3}+1)}{3-1} = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}(4+2\sqrt{3})}{2}$. $S_{бок} = 50 \cdot \sqrt{3}(4+2\sqrt{3}) = 50 \cdot (4\sqrt{3} + 2\cdot3) = 50 \cdot (6+4\sqrt{3})$. $S_{бок} = 100(3+2\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $100(3+2\sqrt{3})$ см$^2$