Номер 425, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

425. Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Пусть дана правильная призма. Это означает, что её основаниями являются равные правильные многоугольники, а сама призма является прямой, то есть её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим центры нижнего и верхнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Отрезок $O_1O_2$ соединяет центры оснований, перпендикулярен им, и его длина равна высоте призмы $h$. Прямая, содержащая отрезок $O_1O_2$, является осью призмы.

По условию, в призму можно вписать сферу. Обозначим эту сферу $S$, её центр — $C$, а радиус — $R$. То, что сфера вписана в призму, означает, что она касается всех граней призмы: двух оснований и всех боковых граней. По определению, расстояние от центра сферы $C$ до плоскости любой грани призмы равно радиусу $R$.

Во-первых, рассмотрим положение центра $C$ относительно плоскостей оснований. Эти плоскости параллельны, и расстояние между ними равно высоте призмы $h$. Так как сфера касается обоих оснований, её центр $C$ равноудалён от их плоскостей. Расстояние от $C$ до плоскости нижнего основания равно $R$, и расстояние до плоскости верхнего основания также равно $R$. Следовательно, высота призмы равна диаметру сферы: $h = R + R = 2R$. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, есть плоскость, параллельная им и проходящая посередине между ними. Значит, центр сферы $C$ лежит в плоскости, которая делит высоту призмы пополам.

Во-вторых, рассмотрим положение центра $C$ относительно боковых граней. Поскольку призма правильная, все её боковые грани (которые являются равными прямоугольниками) находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии призмы — прямой $O_1O_2$. Центр сферы $C$ должен быть равноудалён от всех боковых граней, так как сфера касается их всех. Геометрическим местом точек, равноудалённых от боковых граней правильной призмы, является её ось — прямая $O_1O_2$.

Итак, мы установили, что центр сферы $C$ должен одновременно принадлежать двум геометрическим местам точек:
1. Средней плоскости, параллельной основаниям.
2. Оси призмы — прямой $O_1O_2$.

Пересечением оси призмы $O_1O_2$ и средней плоскости является единственная точка — середина отрезка $O_1O_2$. Следовательно, центр сферы $C$ должен совпадать с этой точкой.

Таким образом, доказано, что центром сферы, вписанной в правильную призму, является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.