Номер 420, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

420. Вне сферы радиуса 10 см дана точка М на расстоянии 16 см от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки М на расстояние 24 см.

Пусть O - центр сферы, а R - ее радиус. По условию, $R = 10$ см.

Точка M находится вне сферы. Пусть A - ближайшая к M точка на сфере. Точки O, A и M лежат на одной прямой. Расстояние от M до ближайшей точки сферы - это длина отрезка AM, то есть $AM = 16$ см.

Расстояние от центра сферы O до точки M равно сумме радиуса сферы OA и расстояния AM: $OM = OA + AM = R + AM = 10 + 16 = 26$ см.

Искомая окружность на сфере - это множество точек, которые одновременно принадлежат этой сфере и находятся на расстоянии 24 см от точки M. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от точки M на расстояние 24 см, - это другая сфера с центром в точке M и радиусом $r_M = 24$ см.

Таким образом, искомая окружность является линией пересечения двух сфер: исходной сферы (центр O, радиус $R = 10$ см) и второй сферы (центр M, радиус $r_M = 24$ см).

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры O и M. Пусть P - любая точка на окружности пересечения. Точка P принадлежит обеим сферам, поэтому образуется треугольник OMP со сторонами: $OP = R = 10$ см (радиус первой сферы), $MP = r_M = 24$ см (радиус второй сферы), $OM = 26$ см (расстояние между центрами).

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $OP^2 + MP^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. $OM^2 = 26^2 = 676$.

Поскольку $OP^2 + MP^2 = OM^2$, треугольник OMP является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине P ($\angle OPM = 90^\circ$).

Радиус $r$ искомой окружности пересечения - это высота прямоугольного треугольника OMP, проведенная из вершины прямого угла P на гипотенузу OM.

Площадь треугольника OMP можно вычислить двумя способами. С одной стороны, через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$.

С другой стороны, через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot r$.

Приравнивая эти два выражения для площади, найдем радиус $r$: $\frac{1}{2} \cdot 26 \cdot r = 120$ $13r = 120$ $r = \frac{120}{13}$ см.

Длина искомой окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Подставим найденное значение радиуса $r$: $L = 2\pi \cdot \frac{120}{13} = \frac{240\pi}{13}$ см.

Ответ: $\frac{240\pi}{13}$ см.