Номер 414, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

414. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

а)

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки (центра). Таким образом, любая точка $M$ принадлежит сфере тогда и только тогда, когда расстояние от неё до центра $O$ равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.
Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это эквивалентно тому, что векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ противоположны, т.е. $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, и их длины равны: $|\vec{OM'}| = |\vec{OM}|$.
Возьмём произвольную точку $M$, принадлежащую сфере. По определению сферы, $OM = R$.
Рассмотрим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, $OM' = OM$.
Поскольку $OM = R$, то и $OM' = R$. Это означает, что точка $M'$ также удалена от центра $O$ на расстояние $R$, и, следовательно, принадлежит сфере.
Так как для любой точки $M$ сферы симметричная ей относительно центра $O$ точка $M'$ также принадлежит этой сфере, то центр сферы является её центром симметрии.
Ответ: Доказано, что центр сферы является её центром симметрии.

б)

Осью симметрии фигуры называется такая прямая $l$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно прямой $l$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна ему.
Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через центр $O$ сферы радиуса $R$. Возьмём любую точку $M$ на сфере, т.е. $OM = R$.
Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то при симметрии относительно $l$ она отображается на себя ($M' = M$), а значит, остаётся на сфере.
Если точка $M$ не лежит на прямой $l$, построим точку $M'$, симметричную $M$ относительно $l$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $l$. Тогда $H$ является серединой отрезка $MM'$, и $MM' \perp l$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OMH$. Так как прямая $l$ проходит через $O$, точка $O$ лежит на $l$. Поскольку $MH \perp l$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в $l$ и проходящей через $H$, в частности $MH \perp OH$. Следовательно, $\triangle OMH$ — прямоугольный с гипотенузой $OM$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OM'H$. Он также прямоугольный ($M'H \perp OH$), и по определению симметрии $MH = M'H$. По теореме Пифагора: $OM'^2 = OH^2 + M'H^2$.
Сравнивая выражения для квадратов гипотенуз, получаем: $OM'^2 = OH^2 + MH^2 = OM^2$.
Так как $OM = R$, то $OM'^2 = R^2$, откуда $OM' = R$.
Это означает, что точка $M'$ также принадлежит сфере. Поскольку $M$ — произвольная точка сферы, любая прямая, проходящая через центр сферы, является её осью симметрии.
Ответ: Доказано, что любая прямая, проходящая через центр сферы, является её осью симметрии.

в)

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость $\alpha$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно плоскости $\alpha$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно плоскости $\alpha$, если плоскость $\alpha$ проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна ему.
Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через центр $O$ сферы радиуса $R$. Возьмём любую точку $M$ на сфере, т.е. $OM = R$.
Если точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, то она симметрична самой себе ($M' = M$) и остаётся на сфере.
Если точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, построим точку $M'$, симметричную $M$ относительно $\alpha$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ является серединой отрезка $MM'$, и $MM' \perp \alpha$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OMH$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через $O$, точка $O$ лежит в $\alpha$. Точка $H$ по определению лежит в $\alpha$. Следовательно, прямая $OH$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку $MH \perp \alpha$, то прямая $MH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $H$. В частности, $MH \perp OH$. Значит, $\triangle OMH$ — прямоугольный с гипотенузой $OM$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$.
Аналогично, для треугольника $\triangle OM'H$, который также является прямоугольным, имеем $OM'^2 = OH^2 + M'H^2$.
По определению симметрии $MH = M'H$, поэтому $OM'^2 = OM^2$.
Так как $OM = R$, то $OM'^2 = R^2$, откуда $OM' = R$.
Следовательно, точка $M'$ также принадлежит сфере. Поскольку $M$ — произвольная точка сферы, любая плоскость, проходящая через центр сферы, является её плоскостью симметрии.
Ответ: Доказано, что любая плоскость, проходящая через центр сферы, является её плоскостью симметрии.