Номер 417, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

417. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Пусть даны два прямоугольника, $ABCD$ и $ABEF$, которые лежат в различных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно и имеют общую сторону $AB$. Нам необходимо доказать, что все шесть вершин $A, B, C, D, E, F$ лежат на одной сфере.

Для того чтобы доказать, что несколько точек лежат на одной сфере, достаточно показать, что существует точка $O$ (центр сферы), равноудаленная от всех этих точек.

Доказательство:

Рассмотрим первый прямоугольник $ABCD$. Все вершины прямоугольника лежат на описанной около него окружности. Центром этой окружности является точка пересечения его диагоналей, назовем ее $O_1$. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех вершин $A, B, C, D$, — это прямая $l_1$, которая перпендикулярна плоскости прямоугольника $\alpha$ и проходит через центр его описанной окружности $O_1$. Таким образом, для любой точки $P$, принадлежащей прямой $l_1$, выполняется равенство $PA = PB = PC = PD$.

Аналогично, для второго прямоугольника $ABEF$ существует прямая $l_2$, которая является геометрическим местом точек, равноудаленных от его вершин $A, B, E, F$. Эта прямая перпендикулярна плоскости прямоугольника $\beta$ и проходит через центр описанной около него окружности $O_2$ (точку пересечения диагоналей $AE$ и $BF$). Для любой точки $Q$, принадлежащей прямой $l_2$, выполняется равенство $QA = QB = QE = QF$.

Центр искомой сферы $O$ должен быть равноудален от всех шести вершин. Следовательно, он должен принадлежать обеим прямым $l_1$ и $l_2$ одновременно, то есть быть их точкой пересечения. Докажем, что эти прямые пересекаются.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, являющуюся серединным перпендикуляром к общему отрезку $AB$. Эта плоскость содержит все точки пространства, равноудаленные от $A$ и $B$.

Точка $O_1$ (центр описанной окружности $ABCD$) равноудалена от $A$ и $B$ ($O_1A = O_1B$ как половины диагоналей), поэтому $O_1$ лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $l_1$ проходит через точку $O_1$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $AB$. Прямая, проходящая через точку плоскости $\gamma$ и перпендикулярная $AB$, целиком лежит в плоскости $\gamma$. Следовательно, вся прямая $l_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

По той же причине точка $O_2$ (центр описанной окружности $ABEF$) равноудалена от $A$ и $B$, поэтому $O_2$ лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $l_2$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а значит, и прямой $AB$. Таким образом, вся прямая $l_2$ также лежит в плоскости $\gamma$.

Итак, обе прямые, $l_1$ и $l_2$, лежат в одной плоскости $\gamma$. В этой плоскости они пересекутся, если не являются параллельными.Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Прямая $O_1M$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна $AB$. Прямая $O_2M$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна $AB$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, то и прямые $O_1M$ и $O_2M$ различны и не параллельны друг другу.

В плоскости $\gamma$ прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $O_1M$ (так как $l_1 \perp \alpha$, а $O_1M \subset \alpha$). Аналогично, прямая $l_2$ перпендикулярна прямой $O_2M$. Так как прямые $O_1M$ и $O_2M$ не параллельны, то и перпендикулярные им прямые $l_1$ и $l_2$ в той же плоскости $\gamma$ не будут параллельны. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в некоторой единственной точке $O$.

Эта точка пересечения $O$ принадлежит обеим прямым.

• Поскольку $O \in l_1$, то $OA = OB = OC = OD$.
• Поскольку $O \in l_2$, то $OA = OB = OE = OF$.

Отсюда следует, что $OA = OB = OC = OD = OE = OF$.

Таким образом, существует точка $O$, равноудаленная от всех шести вершин двух прямоугольников. Это означает, что все вершины лежат на одной сфере с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Утверждение доказано. Все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.