Номер 412, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

412. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

Дано: высота конуса $H = 4$ см, радиус основания конуса $R = 3$ см. В конус вписана правильная $n$-угольная пирамида. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды — это правильный $n$-угольник, вписанный в окружность основания конуса. Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса ($H_{пир} = H = 4$ см), а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен радиусу основания конуса ($R_{опис} = R = 3$ см).

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a$,

где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Апофему $h_a$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{впис}$, а гипотенузой — сама апофема:

$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2}$

Рассмотрим каждый случай.

а) n = 3

В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник.

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона правильного треугольника $a_3$ связана с радиусом описанной окружности $R$ соотношением $a_3 = R\sqrt{3}$.
$a_3 = 3\sqrt{3}$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для правильного треугольника равен $r_{впис} = \frac{R}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

2. Вычислим площадь основания.
$S_{осн} = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (1.5)^2} = \sqrt{16 + 2.25} = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 3a_3 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{9\sqrt{219}}{4}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{27\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{219}}{4} = \frac{9}{4}(3\sqrt{3} + \sqrt{219})$ см².

Ответ: $\frac{9}{4}(3\sqrt{3} + \sqrt{219})$ см² или $\frac{9\sqrt{3}}{4}(3 + \sqrt{73})$ см².

б) n = 4

В основании лежит правильный четырехугольник (квадрат).

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона квадрата $a_4$ связана с радиусом описанной окружности (половиной диагонали) соотношением $a_4 = R\sqrt{2}$.
$a_4 = 3\sqrt{2}$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для квадрата равен половине его стороны: $r_{впис} = \frac{a_4}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Вычислим площадь основания.
$S_{осн} = a_4^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{16 + 4.5} = \sqrt{20.5} = \sqrt{\frac{41}{2}}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 4a_4 = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{41}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{41}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 18 + 6\sqrt{41} = 6(3 + \sqrt{41})$ см².

Ответ: $6(3 + \sqrt{41})$ см².

в) n = 6

В основании лежит правильный шестиугольник.

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона правильного шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R = 3$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для правильного шестиугольника находится по формуле $r_{впис} = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Вычислим площадь основания. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a_6$.
$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a_6^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{64+27}{4}} = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 6a_6 = 6 \cdot 3 = 18$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = 9\sqrt{91}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{27\sqrt{3}}{2} + 9\sqrt{91}$ см².

Ответ: $(\frac{27\sqrt{3}}{2} + 9\sqrt{91})$ см².