Номер 405, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

405. Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.

Пусть $L$ — длина образующей конуса. По условию задачи, у конуса существуют три попарно перпендикулярные образующие. Обозначим их $VA$, $VB$ и $VC$, где $V$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания.

Поскольку образующие $VA$, $VB$ и $VC$ попарно перпендикулярны, то есть $\angle AVB = \angle BVC = \angle CVA = 90^\circ$, треугольники $\triangle VAB$, $\triangle VBC$ и $\triangle VCA$ являются прямоугольными. Так как их катеты — это образующие, имеющие одинаковую длину $L$, эти треугольники также равнобедренные.

Найдем длины сторон треугольника $ABC$, используя теорему Пифагора для каждого из этих прямоугольных треугольников:
$AB^2 = VA^2 + VB^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies AB = L\sqrt{2}$.
$BC^2 = VB^2 + VC^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies BC = L\sqrt{2}$.
$CA^2 = VC^2 + VA^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies CA = L\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC$, образованный точками на основании конуса, является равносторонним со стороной $a = L\sqrt{2}$. Этот треугольник вписан в окружность основания конуса.

Найдем радиус $R$ окружности основания конуса. Этот радиус является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника $ABC$. Формула для радиуса $R$ описанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим в нее значение стороны $a = L\sqrt{2}$:
$R = \frac{L\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = L\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны длине образующей $L$, а основание равно диаметру окружности основания, то есть $2R$. Пусть угол при вершине этого осевого сечения равен $\beta$. Требуется найти $\cos(\beta)$.

Применим теорему косинусов для треугольника осевого сечения:
$(2R)^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\beta)$
$4R^2 = 2L^2 - 2L^2 \cos(\beta)$
$4R^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $R$:
$4 \left( L\sqrt{\frac{2}{3}} \right)^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$
$4 \cdot L^2 \cdot \frac{2}{3} = 2L^2(1 - \cos(\beta))$
$\frac{8}{3} L^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$

Разделим обе части уравнения на $2L^2$ (так как длина образующей $L$ не равна нулю):
$\frac{4}{3} = 1 - \cos(\beta)$
Отсюда выразим $\cos(\beta)$:
$\cos(\beta) = 1 - \frac{4}{3}$
$\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.