Номер 399, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

399. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны S₁ и S₂. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a \neq b$. Диагональ прямоугольника $d$ находится по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$, откуда $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассмотрим первый случай: вращение прямоугольника вокруг стороны, длина которой равна $a$. В результате этого вращения образуется цилиндр, высота которого $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$. Площадь полной поверхности этого цилиндра, обозначенная как $S_1$, складывается из площади боковой поверхности и площади двух оснований:
$S_{\text{полн.}} = S_{\text{бок.}} + 2S_{\text{осн.}}$
$S_1 = 2 \pi r_1 h_1 + 2 \pi r_1^2 = 2\pi b a + 2\pi b^2 = 2\pi b(a+b)$.

Рассмотрим второй случай: вращение прямоугольника вокруг стороны, длина которой равна $b$. В этом случае образуется цилиндр с высотой $h_2 = b$ и радиусом основания $r_2 = a$. Площадь его полной поверхности $S_2$ будет равна:
$S_2 = 2 \pi r_2 h_2 + 2 \pi r_2^2 = 2\pi a b + 2\pi a^2 = 2\pi a(a+b)$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$S_1 = 2\pi b(a+b) \quad (1)$
$S_2 = 2\pi a(a+b) \quad (2)$

Для решения этой системы и нахождения $a^2+b^2$, сложим уравнения (1) и (2):
$S_1 + S_2 = 2\pi b(a+b) + 2\pi a(a+b)$
$S_1 + S_2 = (2\pi b + 2\pi a)(a+b)$
$S_1 + S_2 = 2\pi (a+b)(a+b) = 2\pi(a+b)^2$
Из этого соотношения можно выразить квадрат суммы сторон:
$(a+b)^2 = \frac{S_1 + S_2}{2\pi}$.

Теперь выразим $a$ и $b$ из уравнений (1) и (2):
$b = \frac{S_1}{2\pi(a+b)}$
$a = \frac{S_2}{2\pi(a+b)}$

Чтобы найти искомую величину $d^2 = a^2+b^2$, возведем полученные выражения для $a$ и $b$ в квадрат и сложим их:
$a^2 + b^2 = \left(\frac{S_2}{2\pi(a+b)}\right)^2 + \left(\frac{S_1}{2\pi(a+b)}\right)^2$
$d^2 = a^2 + b^2 = \frac{S_2^2 + S_1^2}{4\pi^2(a+b)^2}$.

Подставим в полученное выражение для $d^2$ найденное ранее выражение для $(a+b)^2$:
$d^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{4\pi^2 \cdot \left(\frac{S_1 + S_2}{2\pi}\right)}$
$d^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{\frac{4\pi^2(S_1 + S_2)}{2\pi}} = \frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}$.

Наконец, извлекая квадратный корень из обеих частей, находим диагональ прямоугольника $d$:
$d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}}$.