Номер 402, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

402. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте $h$ и диаметру основания $2r$.

Периметр осевого сечения $P_{сеч}$ по условию задачи равен $2p$. Формула для периметра этого прямоугольника: $P_{сеч} = 2(h + 2r)$

Составим уравнение на основе условия задачи: $2(h + 2r) = 2p$ Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между высотой и радиусом: $h + 2r = p$

Из этого соотношения можно выразить высоту $h$ через радиус $r$: $h = p - 2r$ Так как высота и радиус являются положительными величинами, то $h > 0$ и $r > 0$. Из $p - 2r > 0$ следует, что $r < \frac{p}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi rh$

Чтобы найти наибольшее значение площади боковой поверхности, подставим выражение для $h$ в ее формулу. Это позволит нам получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r(p - 2r) = 2\pi pr - 4\pi r^2$

Функция $S(r)$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где переменная — $r$, а коэффициенты $a = -4\pi$ и $b = 2\pi p$. График этой функции — парабола. Поскольку коэффициент $a = -4\pi$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего максимального значения функция достигает в вершине.

Абсцисса вершины параболы (в нашем случае — значение радиуса $r$) находится по формуле $r_0 = -\frac{b}{2a}$. Подставим наши значения коэффициентов: $r = -\frac{2\pi p}{2(-4\pi)} = \frac{2\pi p}{8\pi} = \frac{p}{4}$

Полученное значение $r = \frac{p}{4}$ удовлетворяет ранее установленному ограничению $r < \frac{p}{2}$.

Теперь, зная оптимальный радиус, найдем соответствующую высоту $h$: $h = p - 2r = p - 2\left(\frac{p}{4}\right) = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Таким образом, для того чтобы цилиндр имел наибольшую площадь боковой поверхности при заданном периметре осевого сечения, его высота должна быть $\frac{p}{2}$, а радиус основания — $\frac{p}{4}$.

Ответ: высота цилиндра равна $\frac{p}{2}$, радиус цилиндра равен $\frac{p}{4}$.