Номер 418, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

418. Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра.

а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6R.

а)

Пусть даны две равные сферы с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Расстояние между центрами $d = O_1O_2$. По условию задачи $d < 2R$, что является условием пересечения сфер.

Рассмотрим произвольную точку $A$, которая принадлежит пересечению этих двух сфер. По определению сферы, расстояние от любой точки на сфере до ее центра равно радиусу. Следовательно, для точки $A$ выполняются два условия: $O_1A = R$ и $O_2A = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Его стороны равны $O_1A = R$, $O_2A = R$ и $O_1O_2 = d$. Так как $R+R=2R > d$, такой треугольник существует (удовлетворяет неравенству треугольника). Этот треугольник является равнобедренным.

Все точки пересечения двух сфер обладают свойством равноудаленности от центров $O_1$ и $O_2$. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек ($O_1$ и $O_2$), есть плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки ($O_1O_2$), и проходящая через его середину.

Таким образом, все точки пересечения лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость пересекает каждую из сфер. Пересечением сферы и плоскости является окружность (или точка, если плоскость касается сферы, или пустое множество). Так как мы уже установили, что пересечение непустое и не является одной точкой (поскольку $d < 2R$), то пересечение каждой сферы с плоскостью $\alpha$ является окружностью.

Поскольку все точки пересечения лежат как на первой, так и на второй сфере, они должны лежать на линии пересечения плоскости $\alpha$ с каждой из сфер. Эта линия пересечения и есть искомая фигура. Так как обе сферы симметричны относительно плоскости $\alpha$, их пересечение с этой плоскостью образует одну и ту же окружность.

Итак, пересечением двух сфер является окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной линии центров и проходящей через середину отрезка $O_1O_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что пересечением двух равных сфер, расстояние между центрами которых меньше диаметра, является окружность.

б)

Для нахождения радиуса $r$ этой окружности рассмотрим сечение, проходящее через центры сфер $O_1$ и $O_2$. В этом сечении мы увидим две пересекающиеся окружности радиуса $R$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения этих окружностей (и, соответственно, точка на окружности пересечения сфер). Как было показано в пункте а), треугольник $\triangle O_1AO_2$ — равнобедренный с основанием $O_1O_2=d$. Радиус $r$ искомой окружности является высотой этого треугольника, опущенной на основание $O_1O_2$.

Пусть $H$ — середина отрезка $O_1O_2$. Тогда $AH = r$ и $O_1H = \frac{d}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1HA$. По теореме Пифагора: $O_1A^2 = O_1H^2 + AH^2$

Подставим известные значения: $R^2 = (\frac{d}{2})^2 + r^2$

Отсюда выразим радиус $r$: $r = \sqrt{R^2 - (\frac{d}{2})^2}$

По условию задачи радиусы сфер равны $R$, а расстояние между их центрами $d = 1,6R$. Подставим это значение в формулу: $r = \sqrt{R^2 - (\frac{1,6R}{2})^2} = \sqrt{R^2 - (0,8R)^2}$

$r = \sqrt{R^2 - 0,64R^2} = \sqrt{0,36R^2} = 0,6R$

Ответ: $0,6R$.