Номер 157, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

157. Прямая ОK перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если ОK = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.

a) Доказательство:

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей, а $OK$ — прямая, перпендикулярная плоскости ромба. Это означает, что $OK \perp (ABCD)$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим расстояние от точки $K$ до прямой $AB$, содержащей сторону ромба. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH_1$ к прямой $AB$. Тогда длина отрезка $KH_1$ и есть искомое расстояние.

В данной конфигурации $OK$ — это перпендикуляр к плоскости ромба, $KH_1$ — наклонная, проведенная из точки $K$ к прямой $AB$, а $OH_1$ — проекция этой наклонной на плоскость ромба.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KH_1$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AB$), то и ее проекция ($OH_1$) перпендикулярна той же прямой. Следовательно, $OH_1 \perp AB$.

Это означает, что $OH_1$ — это расстояние от центра ромба $O$ до его стороны $AB$.

Аналогично, построив перпендикуляры из точки $K$ к другим сторонам ромба ($BC, CD, DA$), мы получим наклонные $KH_2, KH_3, KH_4$ и их проекции $OH_2, OH_3, OH_4$, которые также будут перпендикулярны соответствующим сторонам.

Важным свойством ромба является то, что точка пересечения его диагоналей равноудалена от всех его сторон (так как является центром вписанной окружности). Таким образом, длины перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на стороны ромба, равны: $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OKH_1, \triangle OKH_2, \triangle OKH_3, \triangle OKH_4$. Они прямоугольные, так как катет $OK$ перпендикулярен плоскости ромба и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$ (включая $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$).

Эти треугольники равны по двум катетам:

1. Катет $OK$ — общий для всех четырех треугольников.
2. Катеты $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$ равны между собой, как было доказано ранее.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $KH_1 = KH_2 = KH_3 = KH_4$.

Следовательно, расстояния от точки $K$ до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Решение:

Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до сторон ромба, которое мы обозначим как $d$. Из пункта а) мы знаем, что это расстояние равно длине любой из гипотенуз $KH_1, KH_2, KH_3$ или $KH_4$. Найдем длину $KH_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKH_1$. По теореме Пифагора, $KH_1^2 = OK^2 + OH_1^2$.

По условию задачи $OK = 4,5$ дм. Найдем длину катета $OH_1$.

$OH_1$ — это расстояние от центра ромба $O$ до стороны $AB$. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный.

Найдем полудиагонали ромба:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ дм.

$BO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

Катеты $\triangle AOB$ равны 3 дм и 4 дм. Найдем гипотенузу $AB$ (которая является стороной ромба) по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ дм.

Отрезок $OH_1$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

1. $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ дм$^2$.

2. $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot OH_1$.

Приравняем эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot OH_1 = 6$

$5 \cdot OH_1 = 12$

$OH_1 = \frac{12}{5} = 2,4$ дм.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $d = KH_1$, вернувшись к треугольнику $\triangle OKH_1$:

$d^2 = KH_1^2 = OK^2 + OH_1^2 = (4,5)^2 + (2,4)^2 = 20,25 + 5,76 = 26,01$

$d = \sqrt{26,01} = 5,1$ дм.

Ответ: 5,1 дм.