Номер 150, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KВ = 7 см, KС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми АK и CD.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AK \perp$ плоскости $(ABCD)$, $KD=6$ см, $KB=7$ см, $KC=9$ см.

Поскольку прямая $AK$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку $A$. Следовательно, треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle KAD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Расстояние от точки $K$ до плоскости прямоугольника $ABCD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на эту плоскость. По условию, таким перпендикуляром является отрезок $AK$. Найдем его длину.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KAD$ и $\triangle KAB$. По теореме Пифагора:

• В $\triangle KAD$: $KD^2 = AK^2 + AD^2 \implies 6^2 = AK^2 + AD^2 \implies 36 = AK^2 + AD^2$.
• В $\triangle KAB$: $KB^2 = AK^2 + AB^2 \implies 7^2 = AK^2 + AB^2 \implies 49 = AK^2 + AB^2$.

Прямая $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$. Так как $AK \perp (ABCD)$, то $AK \perp AC$, и, следовательно, $\triangle KAC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора для $\triangle KAC$: $KC^2 = AK^2 + AC^2$.

В свою очередь, в прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ находится по теореме Пифагора из $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD$.

Объединив выражения, получим: $KC^2 = AK^2 + (AB^2 + AD^2)$.

Мы имеем систему выражений:

• $AD^2 = 36 - AK^2$
• $AB^2 = 49 - AK^2$
• $KC^2 = AK^2 + AB^2 + AD^2$

Подставим первые два выражения в третье, используя известное значение $KC = 9$:

$9^2 = AK^2 + (49 - AK^2) + (36 - AK^2)$

$81 = AK^2 + 49 - AK^2 + 36 - AK^2$

$81 = 85 - AK^2$

$AK^2 = 85 - 81 = 4$

$AK = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AK$ и $CD$ — это длина их общего перпендикуляра.

Прямая $AK$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AD$. Таким образом, $AK \perp AD$.

В прямоугольнике $ABCD$ смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp CD$.

Поскольку отрезок $AD$ перпендикулярен обеим прямым ($AK$ и $CD$), он является их общим перпендикуляром, и его длина равна искомому расстоянию между этими прямыми.

Найдем длину $AD$ из соотношения, полученного в пункте а):

$36 = AK^2 + AD^2$

Мы уже нашли, что $AK^2 = 4$. Подставим это значение:

$36 = 4 + AD^2$

$AD^2 = 36 - 4 = 32$

$AD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.