Номер 144, страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

144. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости α.

Решение

Через какую-нибудь точку прямой а проведём плоскость β, параллельную плоскости α (задача 59). Прямая а лежит в плоскости β, так как в противном случае она пересекала бы плоскость β, а значит, пересекала бы и плоскость α (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости β равноудалены от плоскости α, поэтому и все точки прямой а, лежащей в плоскости β, равноудалены от плоскости α, что и требовалось доказать.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом, основанным на свойствах параллельных плоскостей.

Дано:
Прямая $a$ и плоскость $\alpha$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, что записывается как $a \parallel \alpha$.

Доказать:
Все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\alpha$.

Доказательство:

1. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам необходимо доказать, что для любых двух точек $M_1 \in a$ и $M_2 \in a$ их расстояния до плоскости $\alpha$ равны.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку, не лежащую на плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Построим через точку $M$ плоскость $\beta$ так, чтобы она была параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем $M \in \beta$ и $\beta \parallel \alpha$.

3. Теперь докажем, что вся прямая $a$ лежит в построенной плоскости $\beta$. Для этого воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$. Поскольку прямая $a$ и плоскость $\beta$ имеют общую точку $M$, это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$.

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую. В нашем случае, если бы прямая $a$ пересекала плоскость $\beta$, то она обязана была бы пересечь и параллельную ей плоскость $\alpha$.

5. Однако это напрямую противоречит начальному условию задачи, где сказано, что $a \parallel \alpha$ (прямая и плоскость параллельны, то есть не имеют общих точек). Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$, было неверным. Значит, прямая $a$ целиком принадлежит плоскости $\beta$, что записывается как $a \subset \beta$.

6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями является постоянной величиной. Это означает, что каждая точка одной плоскости (в нашем случае $\beta$) находится на одном и том же расстоянии от другой плоскости ($\alpha$).

7. Поскольку мы доказали, что вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то каждая точка прямой $a$ одновременно является и точкой плоскости $\beta$. Из этого следует, что все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все точки прямой, которая параллельна некоторой плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.