Номер 137, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 137, страница 42.
№137 (с. 42)
Условие. №137 (с. 42)
скриншот условия

137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.
Решение 2. №137 (с. 42)

Решение 4. №137 (с. 42)


Решение 5. №137 (с. 42)

Решение 6. №137 (с. 42)
Пусть даны две взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые, назовем их a и b. Это означает, что прямые a и b не пересекаются, не параллельны, и угол между ними равен $90^\circ$. Нам нужно доказать, что через каждую из этих прямых можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.
Сначала докажем, что существует плоскость α, проходящая через прямую a и перпендикулярная прямой b.
Поскольку прямые a и b скрещиваются, по теореме о двух скрещивающихся прямых для них существует и притом единственный общий перпендикуляр — прямая c. Пусть эта прямая пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B. По определению общего перпендикуляра, прямая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b. То есть, $c \perp a$ и $c \perp b$.
Рассмотрим плоскость α, заданную двумя пересекающимися в точке A прямыми: a и c. По построению очевидно, что прямая a лежит в плоскости α ($a \subset \alpha$).
Теперь докажем, что плоскость α перпендикулярна прямой b. Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. В плоскости α лежат прямые a и c, которые пересекаются в точке A. По условию задачи, прямая a перпендикулярна прямой b ($a \perp b$). По построению общего перпендикуляра c, прямая c также перпендикулярна прямой b ($c \perp b$). Таким образом, прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым (a и c) в плоскости α. Следовательно, по признаку перпендикулярности, прямая b перпендикулярна всей плоскости α ($b \perp \alpha$).
Далее докажем, что существует плоскость β, проходящая через прямую b и перпендикулярная прямой a. Доказательство полностью симметрично предыдущему. Снова используем общий перпендикуляр c.
Рассмотрим плоскость β, заданную двумя пересекающимися в точке B прямыми: b и c. По построению, прямая b лежит в этой плоскости ($b \subset \beta$). Докажем, что плоскость β перпендикулярна прямой a. В плоскости β лежат пересекающиеся прямые b и c. По условию задачи, $b \perp a$. По построению общего перпендикуляра, $c \perp a$. Следовательно, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым (b и c) в плоскости β, а значит, перпендикулярна и самой плоскости β ($a \perp \beta$).
Таким образом, мы доказали, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 137 расположенного на странице 42 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №137 (с. 42), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.