Номер 136, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

Дано:

Дан отрезок AB и точка X, такая что расстояние от X до A равно расстоянию от X до B. То есть, $XA = XB$.

Доказать:

Точка X лежит в плоскости $\alpha$, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна прямой AB.

Доказательство:

1. Пусть M — середина отрезка AB. По определению середины отрезка, M лежит на прямой AB и делит отрезок AB на две равные части: $AM = MB$.

2. Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и X, то есть $\triangle XAB$. По условию задачи, точка X равноудалена от концов отрезка AB, что означает $XA = XB$. Следовательно, $\triangle XAB$ является равнобедренным треугольником с основанием AB.

3. Проведем отрезок XM, соединяющий вершину X с точкой M, которая является серединой основания AB. В треугольнике $\triangle XAB$ отрезок XM является медианой, проведенной к основанию.

4. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также его высотой. Это означает, что медиана XM перпендикулярна основанию AB. Таким образом, $XM \perp AB$.

5. Обозначим через $\alpha$ плоскость, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой AB. По определению, плоскость, перпендикулярная прямой, содержит в себе все прямые, проходящие через точку пересечения (в данном случае M) и перпендикулярные исходной прямой (в данном случае AB).

6. Как мы установили в пункте 4, прямая XM проходит через точку M и перпендикулярна прямой AB. Следовательно, по определению плоскости $\alpha$, прямая XM должна лежать в этой плоскости.

7. Поскольку точка X принадлежит прямой XM, а вся прямая XM лежит в плоскости $\alpha$, то и точка X принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что если точка X равноудалена от концов отрезка AB, то она лежит в плоскости, проходящей через середину этого отрезка и перпендикулярной ему.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.