Номер 134, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.

Для доказательства утверждения воспользуемся методами аналитической геометрии.

Пусть в пространстве задана точка $M$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и прямая $a$, имеющая направляющий вектор $\vec{v} = \{l; m; n\}$.

1. Сначала определим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. По определению, плоскость — это геометрическое место точек. Плоскость $\alpha$ состоит из всех точек $P(x, y, z)$, для которых вектор $\vec{MP}$ перпендикулярен направляющему вектору $\vec{v}$ прямой $a$. Вектор $\vec{MP}$ имеет координаты $\{x - x_0; y - y_0; z - z_0\}$. Условие перпендикулярности двух векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{MP} \cdot \vec{v} = 0$

Это уравнение является уравнением плоскости $\alpha$:

$l(x - x_0) + m(y - y_0) + n(z - z_0) = 0$

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Пусть направляющий вектор прямой $b$ — это вектор $\vec{u}$.

Из условия, что прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$ ($b \perp a$), следует, что их направляющие векторы также перпендикулярны. Таким образом, скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно нулю:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

3. Нам нужно доказать, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Для этого достаточно показать, что любая точка, принадлежащая прямой $b$, также принадлежит и плоскости $\alpha$.

Возьмем любую точку $P$ на прямой $b$. Так как прямая $b$ проходит через точку $M$ и имеет направляющий вектор $\vec{u}$, вектор $\vec{MP}$ будет коллинеарен вектору $\vec{u}$. Это можно записать в виде $\vec{MP} = k \cdot \vec{u}$ для некоторого действительного числа $k$.

Чтобы проверить, лежит ли точка $P$ в плоскости $\alpha$, нужно проверить, удовлетворяет ли она уравнению плоскости, то есть выполняется ли условие $\vec{MP} \cdot \vec{v} = 0$. Подставим выражение для $\vec{MP}$:

$\vec{MP} \cdot \vec{v} = (k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})$

Как мы установили в пункте 2, скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Следовательно:

$k (\vec{u} \cdot \vec{v}) = k \cdot 0 = 0$

Условие выполняется для любой точки $P$ на прямой $b$ (то есть для любого значения $k$). Это означает, что каждая точка прямой $b$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно из всех прямых, проходящих через $M$ и перпендикулярных $a$, то наше заключение верно для всех таких прямых.

Ответ: Что и требовалось доказать.