Номер 132, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 132, страница 42.

Условие.

132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Дано:
Две плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, такие что $ \alpha \parallel \beta $.
Прямая $ a $, такая что $ a \perp \alpha $.

Доказать:
Прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \beta $ ($ a \perp \beta $).

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

1. Поскольку по условию прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Выберем в плоскости $ \beta $ две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $ b_1 $ и $ b_2 $. Пусть они пересекаются в точке $ B $.

3. Построим в плоскости $ \alpha $ прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ таким образом, чтобы $ c_1 \parallel b_1 $ и $ c_2 \parallel b_2 $. Так как плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, такое построение всегда возможно. Прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ будут пересекаться в некоторой точке $ A $ в плоскости $ \alpha $.

4. Так как прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ лежат в плоскости $ \alpha $, а прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ по условию, то $ a \perp c_1 $ и $ a \perp c_2 $.

5. Рассмотрим параллельные прямые $ c_1 $ и $ b_1 $. Существует теорема, утверждающая, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Так как $ a \perp c_1 $ и $ c_1 \parallel b_1 $, то из этого следует, что $ a \perp b_1 $.

6. Аналогично рассуждая для параллельных прямых $ c_2 $ и $ b_2 $, из того, что $ a \perp c_2 $ и $ c_2 \parallel b_2 $, следует, что $ a \perp b_2 $.

7. Таким образом, мы установили, что прямая $ a $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $ b_1 $ и $ b_2 $, которые лежат в плоскости $ \beta $.

8. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, мы можем заключить, что прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.