Страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника ABC. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой АС.

По условию задачи дано, что прямая $MB$ перпендикулярна стороне $AB$ треугольника $ABC$ и стороне $BC$ этого же треугольника. Это можно записать как $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$.

Стороны $AB$ и $BC$ являются двумя прямыми, которые лежат в плоскости треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $B$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В нашем случае прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$, которые лежат в плоскости треугольника $ABC$. Следовательно, прямая $MB$ перпендикулярна всей плоскости треугольника $ABC$. Это записывается как $MB \perp (ABC)$.

Далее, по определению прямой, перпендикулярной плоскости: прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим отрезок $BD$. Точка $D$ по условию является произвольной точкой прямой $AC$. Так как прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$, то и любая ее точка, включая точку $D$, также лежит в этой плоскости. Точка $B$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, отрезок $BD$, соединяющий две точки этой плоскости, полностью лежит в плоскости $(ABC)$.

Поскольку прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, а прямая $BD$ лежит в этой плоскости, то прямая $MB$ перпендикулярна прямой $BD$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$.

В треугольнике $MBD$ угол $\angle MBD$ является углом между сторонами $MB$ и $BD$. Так как $MB \perp BD$, то $\angle MBD = 90^\circ$.

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, называется прямоугольным. Таким образом, треугольник $MBD$ является прямоугольным.

Ответ: треугольник MBD — прямоугольный.

127. В треугольнике ABC сумма углов А и В равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD ⊥ AC.

1. По условию, в треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Так как сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, его катеты $AC$ и $BC$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BC$.

2. По условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это позволяет нам применить теорему о трех перпендикулярах. Определим необходимые элементы:
- Плоскость: $(ABC)$.
- Перпендикуляр к плоскости: $BD$.
- Наклонная к плоскости: $CD$.
- Проекция наклонной $CD$ на плоскость $(ABC)$: $BC$ (поскольку $B$ — основание перпендикуляра $BD$, а точка $C$ лежит в плоскости).

3. Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
В нашем случае прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и, как мы выяснили в пункте 1, она перпендикулярна проекции $BC$ наклонной $CD$.
Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $AC$ также перпендикулярна и самой наклонной $CD$.
Таким образом, $CD \perp AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $CD$ и $AC$ доказана.

128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, MB = MD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

По условию, $ABCD$ — это параллелограмм, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что $O$ является серединой отрезка $AC$ и серединой отрезка $BD$. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. В этом треугольнике нам дано, что $MA = MC$. Это значит, что $\triangle AMC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $O$. Таким образом, $MO$ является медианой этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $MO \perp AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BMD$. По условию $MB = MD$. Это значит, что $\triangle BMD$ — равнобедренный с основанием $BD$. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $O$. Таким образом, $MO$ является медианой треугольника $\triangle BMD$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана к основанию является также и высотой. Отсюда следует, что $MO \perp BD$.

Итак, мы установили, что прямая $OM$ перпендикулярна двум прямым: $AC$ и $BD$. Эти прямые лежат в плоскости параллелограмма $ABCD$ и пересекаются в точке $O$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости параллелограмма, то прямая $OM$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

129. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) MO ⊥ BD.

а) прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO;

Для того чтобы доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$, нужно доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $AO$ и $AM$.

1. Рассмотрим диагонали квадрата $ABCD$. По свойству квадрата, его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. То есть, $AC \perp BD$. Прямая $AO$ является частью диагонали $AC$, следовательно, $AO \perp BD$.

2. По условию, прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABCD)$. Прямая $BD$ лежит в плоскости квадрата. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AM \perp BD$.

3. Мы показали, что прямая $BD$ перпендикулярна двум прямым — $AO$ и $AM$. Эти прямые лежат в плоскости $AMO$ и пересекаются в точке $A$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) MO ? BD.

В пункте а) было доказано, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$, то есть $BD \perp (AMO)$.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая $MO$ лежит в плоскости $AMO$, так как обе точки, $M$ и $O$, принадлежат этой плоскости.

Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $MO$. Это означает, что $MO \perp BD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

130. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BМ. Известно, что ∠MBA = ∠MBC = 90°, MB = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до:

а) вершин квадрата;

б) прямых АС и BD.

По условию, прямая $BM$ проведена через вершину $B$ квадрата $ABCD$ так, что $\angle MBA = \angle MBC = 90^{\circ}$. Поскольку прямые $AB$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости квадрата, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$. Это значит, что $MB$ — перпендикуляр из точки $M$ к плоскости $(ABC)$ с длиной $m$, а $B$ — его основание. Сторона квадрата $AB = n$.

а) Найдем расстояния от точки $M$ до вершин квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников, в которых одним катетом является перпендикуляр $MB=m$, а вторым катетом — соответствующий отрезок в плоскости квадрата.

Расстояние до вершины $B$ — это длина отрезка $MB$. По условию, $MB = m$.

Расстояние до вершины $A$ — это длина гипотенузы $MA$ в прямоугольном $\triangle MBA$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и $AB=n$. Следовательно, $MA = \sqrt{MB^2 + AB^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Расстояние до вершины $C$ — это длина гипотенузы $MC$ в прямоугольном $\triangle MBC$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и $BC=n$. Следовательно, $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Расстояние до вершины $D$ — это длина гипотенузы $MD$ в прямоугольном $\triangle MBD$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали $BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{n^2+n^2} = n\sqrt{2}$. Следовательно, $MD = \sqrt{MB^2 + BD^2} = \sqrt{m^2 + (n\sqrt{2})^2} = \sqrt{m^2 + 2n^2}$.

Ответ: расстояния от точки $M$ до вершин $A, B, C, D$ равны соответственно $\sqrt{m^2 + n^2}$, $m$, $\sqrt{m^2 + n^2}$ и $\sqrt{m^2 + 2n^2}$.

б) Найдем расстояния от точки $M$ до прямых $AC$ и $BD$ (диагоналей квадрата). Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние до прямой $BD$: Поскольку $MB \perp (ABC)$ и прямая $BD$ лежит в этой плоскости и проходит через $B$, то $MB \perp BD$. Значит, $MB$ является перпендикуляром от точки $M$ к прямой $BD$, и искомое расстояние равно $m$.

Расстояние до прямой $AC$: Пусть $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). В квадрате диагонали перпендикулярны, то есть $BO \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MB$ — перпендикуляр к плоскости, а $BO$ — проекция наклонной $MO$ на эту плоскость, и $BO \perp AC$, то и сама наклонная $MO$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, длина $MO$ — это искомое расстояние. Найдем ее из прямоугольного $\triangle MBO$ ($\angle MBO=90^\circ$). Катет $BO$ равен половине диагонали: $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{n\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора: $MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{m^2 + \left(\frac{n\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{m^2 + \frac{2n^2}{4}} = \sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $\sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$, а до прямой $BD$ равно $m$.

131. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = АС, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию задачи, $AB = AC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$ — середина ребра $BC$, следовательно, отрезок $AM$ является медианой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $AM$ перпендикулярна $BC$, что можно записать как $AM \perp BC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $DBC$. По условию, $DB = DC$, следовательно, треугольник $DBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с серединой основания $BC$, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике $DBC$ медиана, проведенная к основанию, одновременно является и высотой. Отсюда следует, что $DM$ перпендикулярна $BC$, то есть $DM \perp BC$.

Теперь у нас есть две прямые, $AM$ и $DM$, которые лежат в плоскости треугольника $ADM$. Эти прямые пересекаются в точке $M$. Мы доказали, что прямая $BC$ перпендикулярна каждой из этих прямых: $BC \perp AM$ и $BC \perp DM$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Так как прямая $BC$ перпендикулярна пересекающимся прямым $AM$ и $DM$ в плоскости $(ADM)$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Дано:
Две плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, такие что $ \alpha \parallel \beta $.
Прямая $ a $, такая что $ a \perp \alpha $.

Доказать:
Прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \beta $ ($ a \perp \beta $).

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

1. Поскольку по условию прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Выберем в плоскости $ \beta $ две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $ b_1 $ и $ b_2 $. Пусть они пересекаются в точке $ B $.

3. Построим в плоскости $ \alpha $ прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ таким образом, чтобы $ c_1 \parallel b_1 $ и $ c_2 \parallel b_2 $. Так как плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, такое построение всегда возможно. Прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ будут пересекаться в некоторой точке $ A $ в плоскости $ \alpha $.

4. Так как прямые $ c_1 $ и $ c_2 $ лежат в плоскости $ \alpha $, а прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ по условию, то $ a \perp c_1 $ и $ a \perp c_2 $.

5. Рассмотрим параллельные прямые $ c_1 $ и $ b_1 $. Существует теорема, утверждающая, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Так как $ a \perp c_1 $ и $ c_1 \parallel b_1 $, то из этого следует, что $ a \perp b_1 $.

6. Аналогично рассуждая для параллельных прямых $ c_2 $ и $ b_2 $, из того, что $ a \perp c_2 $ и $ c_2 \parallel b_2 $, следует, что $ a \perp b_2 $.

7. Таким образом, мы установили, что прямая $ a $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $ b_1 $ и $ b_2 $, которые лежат в плоскости $ \beta $.

8. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, мы можем заключить, что прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

133. Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Решение

Согласно задаче п. 17 через данную точку М проходит плоскость α, перпендикулярная к данной прямой а. Предположим, что через точку М проходит ещё одна плоскость α₁, перпендикулярная к этой прямой. Тогда плоскости α и α₁ параллельны (см. задачу 123). Но это невозможно, так как эти плоскости имеют общую точку М. Следовательно, наше предположение неверно, и через точку М проходит только одна плоскость, перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Прямая $a$.
Точка $M$, не обязательно лежащая на прямой $a$.

Доказать:
Существует только одна плоскость $\alpha$, такая что $M \in \alpha$ и $\alpha \perp a$.

Доказательство:

1. Существование. Согласно теореме о существовании плоскости, перпендикулярной данной прямой, через любую точку пространства ($M$) можно провести плоскость ($\alpha$), перпендикулярную данной прямой ($a$). Таким образом, мы знаем, что как минимум одна такая плоскость существует.

2. Единственность (доказательство от противного). Предположим, что утверждение неверно. Это значит, что через точку $M$ проходит не одна, а как минимум две различные плоскости, перпендикулярные прямой $a$. Назовем эти плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Тогда, по нашему предположению, мы имеем:

• Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и $\alpha \perp a$.
• Плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ и $\beta \perp a$.

3. Применение теоремы о параллельности плоскостей. Существует теорема, которая гласит: если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Поскольку обе плоскости $\alpha$ и $\beta$ по нашему предположению перпендикулярны прямой $a$, из этой теоремы следует, что они должны быть параллельны друг другу: $\alpha \parallel \beta$.

4. Получение противоречия. Мы пришли к двум выводам:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).
• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ (по нашему первоначальному предположению).

Эти два вывода противоречат друг другу. По определению, параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки. Однако мы предположили, что они пересекаются в точке $M$.

5. Вывод. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о существовании второй плоскости $\beta$, отличной от $\alpha$ и проходящей через точку $M$ перпендикулярно прямой $a$, было ложным.

Следовательно, такая плоскость может быть только одна.

Ответ: Доказано, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.

Для доказательства утверждения воспользуемся методами аналитической геометрии.

Пусть в пространстве задана точка $M$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и прямая $a$, имеющая направляющий вектор $\vec{v} = \{l; m; n\}$.

1. Сначала определим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. По определению, плоскость — это геометрическое место точек. Плоскость $\alpha$ состоит из всех точек $P(x, y, z)$, для которых вектор $\vec{MP}$ перпендикулярен направляющему вектору $\vec{v}$ прямой $a$. Вектор $\vec{MP}$ имеет координаты $\{x - x_0; y - y_0; z - z_0\}$. Условие перпендикулярности двух векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{MP} \cdot \vec{v} = 0$

Это уравнение является уравнением плоскости $\alpha$:

$l(x - x_0) + m(y - y_0) + n(z - z_0) = 0$

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Пусть направляющий вектор прямой $b$ — это вектор $\vec{u}$.

Из условия, что прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$ ($b \perp a$), следует, что их направляющие векторы также перпендикулярны. Таким образом, скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно нулю:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

3. Нам нужно доказать, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Для этого достаточно показать, что любая точка, принадлежащая прямой $b$, также принадлежит и плоскости $\alpha$.

Возьмем любую точку $P$ на прямой $b$. Так как прямая $b$ проходит через точку $M$ и имеет направляющий вектор $\vec{u}$, вектор $\vec{MP}$ будет коллинеарен вектору $\vec{u}$. Это можно записать в виде $\vec{MP} = k \cdot \vec{u}$ для некоторого действительного числа $k$.

Чтобы проверить, лежит ли точка $P$ в плоскости $\alpha$, нужно проверить, удовлетворяет ли она уравнению плоскости, то есть выполняется ли условие $\vec{MP} \cdot \vec{v} = 0$. Подставим выражение для $\vec{MP}$:

$\vec{MP} \cdot \vec{v} = (k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})$

Как мы установили в пункте 2, скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Следовательно:

$k (\vec{u} \cdot \vec{v}) = k \cdot 0 = 0$

Условие выполняется для любой точки $P$ на прямой $b$ (то есть для любого значения $k$). Это означает, что каждая точка прямой $b$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно из всех прямых, проходящих через $M$ и перпендикулярных $a$, то наше заключение верно для всех таких прямых.

Ответ: Что и требовалось доказать.

135. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b || α.

Для доказательства данного утверждения используем метод прямого доказательства, основанный на свойствах перпендикулярных и параллельных прямых и плоскостей.

Дано:
1. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
2. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$).
3. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

Доказать:
Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

Доказательство:

1. Проведём через произвольную точку $M$, принадлежащую прямой $b$, прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и она единственна. Таким образом, у нас есть $a' \parallel a$.

2. По условию задачи, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Так как мы построили прямую $a'$ параллельно прямой $a$ ($a' \parallel a$), то по свойству параллельных прямых (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой), следует, что $a' \perp b$.

3. Прямые $a'$ и $b$ пересекаются в точке $M$ по построению. Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$. Следовательно, прямые $a'$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ ($a' \subset \beta$ и $b \subset \beta$).

4. Из условия известно, что прямая $a \perp \alpha$. Так как $a' \parallel a$, то по теореме о прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости, прямая $a'$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $a' \perp \alpha$.

5. Поскольку плоскость $\beta$ содержит прямую $a'$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$, то плоскость $\beta$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим их линию пересечения как прямую $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Из этого следует, что прямая $c$ лежит в обеих плоскостях: $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

6. Так как прямая $a' \perp \alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, $a'$ перпендикулярна прямой $c$, так как $c \subset \alpha$. Следовательно, $a' \perp c$.

7. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат прямые $a'$, $b$ и $c$. Из шага 2 мы знаем, что $a' \perp b$. Из шага 6 мы знаем, что $a' \perp c$.

8. По теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости (в нашем случае $b$ и $c$ в плоскости $\beta$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($a'$), то эти две прямые параллельны друг другу. Отсюда следует, что $b \parallel c$.

9. Мы доказали, что прямая $b$ параллельна прямой $c$, которая, в свою очередь, лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). По условию задачи, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

10. Применяем признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Так как $b \not\subset \alpha$ и $b \parallel c$, где $c \subset \alpha$, мы можем заключить, что $b \parallel \alpha$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что $b \parallel \alpha$.

136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

Дано:

Дан отрезок AB и точка X, такая что расстояние от X до A равно расстоянию от X до B. То есть, $XA = XB$.

Доказать:

Точка X лежит в плоскости $\alpha$, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна прямой AB.

Доказательство:

1. Пусть M — середина отрезка AB. По определению середины отрезка, M лежит на прямой AB и делит отрезок AB на две равные части: $AM = MB$.

2. Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и X, то есть $\triangle XAB$. По условию задачи, точка X равноудалена от концов отрезка AB, что означает $XA = XB$. Следовательно, $\triangle XAB$ является равнобедренным треугольником с основанием AB.

3. Проведем отрезок XM, соединяющий вершину X с точкой M, которая является серединой основания AB. В треугольнике $\triangle XAB$ отрезок XM является медианой, проведенной к основанию.

4. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также его высотой. Это означает, что медиана XM перпендикулярна основанию AB. Таким образом, $XM \perp AB$.

5. Обозначим через $\alpha$ плоскость, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой AB. По определению, плоскость, перпендикулярная прямой, содержит в себе все прямые, проходящие через точку пересечения (в данном случае M) и перпендикулярные исходной прямой (в данном случае AB).

6. Как мы установили в пункте 4, прямая XM проходит через точку M и перпендикулярна прямой AB. Следовательно, по определению плоскости $\alpha$, прямая XM должна лежать в этой плоскости.

7. Поскольку точка X принадлежит прямой XM, а вся прямая XM лежит в плоскости $\alpha$, то и точка X принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что если точка X равноудалена от концов отрезка AB, то она лежит в плоскости, проходящей через середину этого отрезка и перпендикулярной ему.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Пусть даны две взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые, назовем их a и b. Это означает, что прямые a и b не пересекаются, не параллельны, и угол между ними равен $90^\circ$. Нам нужно доказать, что через каждую из этих прямых можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Сначала докажем, что существует плоскость α, проходящая через прямую a и перпендикулярная прямой b.

Поскольку прямые a и b скрещиваются, по теореме о двух скрещивающихся прямых для них существует и притом единственный общий перпендикуляр — прямая c. Пусть эта прямая пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B. По определению общего перпендикуляра, прямая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b. То есть, $c \perp a$ и $c \perp b$.

Рассмотрим плоскость α, заданную двумя пересекающимися в точке A прямыми: a и c. По построению очевидно, что прямая a лежит в плоскости α ($a \subset \alpha$).

Теперь докажем, что плоскость α перпендикулярна прямой b. Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. В плоскости α лежат прямые a и c, которые пересекаются в точке A. По условию задачи, прямая a перпендикулярна прямой b ($a \perp b$). По построению общего перпендикуляра c, прямая c также перпендикулярна прямой b ($c \perp b$). Таким образом, прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым (a и c) в плоскости α. Следовательно, по признаку перпендикулярности, прямая b перпендикулярна всей плоскости α ($b \perp \alpha$).

Далее докажем, что существует плоскость β, проходящая через прямую b и перпендикулярная прямой a. Доказательство полностью симметрично предыдущему. Снова используем общий перпендикуляр c.

Рассмотрим плоскость β, заданную двумя пересекающимися в точке B прямыми: b и c. По построению, прямая b лежит в этой плоскости ($b \subset \beta$). Докажем, что плоскость β перпендикулярна прямой a. В плоскости β лежат пересекающиеся прямые b и c. По условию задачи, $b \perp a$. По построению общего перпендикуляра, $c \perp a$. Следовательно, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым (b и c) в плоскости β, а значит, перпендикулярна и самой плоскости β ($a \perp \beta$).

Таким образом, мы доказали, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.