Номер 139, страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

139. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Для доказательства всех утверждений введём общие обозначения. Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости ?, проведены к этой плоскости две наклонные AB и AC. Опустим из точки A перпендикуляр AO на плоскость ?. Длина этого перпендикуляра, отрезок AO, является расстоянием от точки до плоскости. Отрезки OB и OC являются ортогональными проекциями наклонных AB и AC на плоскость ? соответственно.

Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника, ?AOB и ?AOC, в которых катет AO является общим. Применим к этим треугольникам теорему Пифагора:
$|AB|^2 = |AO|^2 + |OB|^2$
$|AC|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Используя эти фундаментальные соотношения, докажем последовательно каждое утверждение.

а)

Нужно доказать, что если наклонные равны ($|AB| = |AC|$), то равны и их проекции ($|OB| = |OC|$).

Из условия равенства наклонных $|AB| = |AC|$ следует, что равны и их квадраты: $|AB|^2 = |AC|^2$. Подставим в это равенство выражения, полученные из теоремы Пифагора:
$|AO|^2 + |OB|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Вычтем из обеих частей равенства общий член $|AO|^2$, что не нарушит равенства:
$|OB|^2 = |OC|^2$

Поскольку длины отрезков (проекций) являются неотрицательными величинами, из равенства их квадратов следует и равенство самих длин:
$|OB| = |OC|$
Утверждение доказано.

Ответ: если наклонные равны, то равны и их проекции.

б)

Нужно доказать, что если проекции наклонных равны ($|OB| = |OC|$), то равны и сами наклонные ($|AB| = |AC|$). Это утверждение является обратным к предыдущему.

Из условия равенства проекций $|OB| = |OC|$ следует равенство их квадратов: $|OB|^2 = |OC|^2$.

Прибавим к обеим частям этого равенства квадрат длины общего перпендикуляра $|AO|^2$:
$|AO|^2 + |OB|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Согласно теореме Пифагора, левая часть этого выражения равна $|AB|^2$, а правая — $|AC|^2$. Таким образом, мы получаем:
$|AB|^2 = |AC|^2$

Так как длины наклонных — это неотрицательные числа, то из равенства их квадратов следует равенство и самих длин:
$|AB| = |AC|$
Утверждение доказано.

Ответ: если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

в)

Нужно доказать, что если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию. Для определённости, пусть наклонная AB больше наклонной AC, то есть $|AB| > |AC|$.

Из теоремы Пифагора выразим квадраты длин проекций:
$|OB|^2 = |AB|^2 - |AO|^2$
$|OC|^2 = |AC|^2 - |AO|^2$

По условию $|AB| > |AC|$. Поскольку длины отрезков — положительные числа, то и их квадраты находятся в том же соотношении: $|AB|^2 > |AC|^2$.

Вычтем из обеих частей этого неравенства одну и ту же величину $|AO|^2$. Знак неравенства при этом не изменится:
$|AB|^2 - |AO|^2 > |AC|^2 - |AO|^2$

Заменяя разности их эквивалентами, получаем:
$|OB|^2 > |OC|^2$

Так как длины проекций являются неотрицательными, то из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:
$|OB| > |OC|$
Таким образом, большей наклонной действительно соответствует большая проекция. Утверждение доказано.

Ответ: если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.