Номер 3, страница 31 - гдз по математике 4 класс тетрадь учебных достижений Волкова

3*. $\begin{array}{rrrrr}& \Box & 3 & 8 & \Box \\\times & & & & \Box \\\hline1 & 6 & \Box & 0 & \Box\end{array}$

Обозначим пропущенные цифры переменными, чтобы пример выглядел так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & A & 3 & 8 & B \\ \times & & & & C \\ \hline 1 & 6 & D & 0 & E \\ \end{array} $

Здесь $A, B, C, D, E$ — это цифры от 0 до 9, причем $A \ne 0$ и $C \ne 0$. Решение задачи основывается на анализе умножения в столбик. Ключевым моментом является то, что в разряде десятков у результата стоит 0. Эта цифра получается из выражения $(8 \times C) + k_1$, где $k_1$ — это перенос из разряда единиц (от умножения $B \times C$). Таким образом, $(8 \times C) + k_1$ должно быть числом, оканчивающимся на 0. Перебирая возможные значения множителя $C$ от 1 до 9 и учитывая, что максимальный перенос $k_1$ от произведения двух цифр равен 8 (от $9 \times 9 = 81$), можно установить, что решения возможны только при $C=5$ и $C=7$. Это приводит к трем различным решениям.

Рассмотрим случай, когда множитель $C=5$.

Для $C=5$ выражение $8 \times 5 + k_1 = 40 + k_1$ должно оканчиваться на 0. Это возможно только если перенос из разряда единиц $k_1=0$. Перенос $k_1$ равен 0, если произведение $B \times C = B \times 5$ меньше 10. Это верно для $B=0$ или $B=1$. В данном решении рассмотрим вариант $B=0$.

Теперь восстановим всю цепочку вычислений. Шаг 1 (единицы): $B \times C = 0 \times 5 = 0$. Следовательно, последняя цифра результата $E=0$, а перенос в десятки $k_1=0$. Шаг 2 (десятки): $8 \times C + k_1 = 8 \times 5 + 0 = 40$. В результат записываем 0, а перенос в сотни $k_2=4$. Шаг 3 (сотни): $3 \times C + k_2 = 3 \times 5 + 4 = 19$. Следовательно, цифра в сотнях результата $D=9$, а перенос в тысячи $k_3=1$. Шаг 4 (тысячи и десятки тысяч): $A \times C + k_3 = A \times 5 + 1$. По условию, это выражение должно быть равно 16. Из уравнения $5A+1=16$ находим $5A=15$, откуда $A=3$.

Таким образом, все цифры найдены: $A=3, B=0, C=5, D=9, E=0$. Проверка: $3380 \times 5 = 16900$.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 3 & 3 & 8 & 0 \\ \times & & & & 5 \\ \hline 1 & 6 & 9 & 0 & 0 \\ \end{array} $

Данное решение также основано на множителе $C=5$.

Как было показано выше, при $C=5$ перенос $k_1$ должен быть равен 0, что возможно при $B=0$ или $B=1$. Теперь рассмотрим вариант $B=1$.

Восстановим вычисления. Шаг 1 (единицы): $B \times C = 1 \times 5 = 5$. Следовательно, $E=5$, а перенос в десятки $k_1=0$. Шаг 2 (десятки): $8 \times C + k_1 = 8 \times 5 + 0 = 40$. Записываем 0, перенос в сотни $k_2=4$. Шаг 3 (сотни): $3 \times C + k_2 = 3 \times 5 + 4 = 19$. Следовательно, $D=9$, а перенос в тысячи $k_3=1$. Шаг 4 (тысячи и десятки тысяч): $A \times C + k_3 = A \times 5 + 1 = 16$. Отсюда, как и в предыдущем решении, $A=3$.

Все цифры найдены: $A=3, B=1, C=5, D=9, E=5$. Проверка: $3381 \times 5 = 16905$.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 3 & 3 & 8 & 1 \\ \times & & & & 5 \\ \hline 1 & 6 & 9 & 0 & 5 \\ \end{array} $

Рассмотрим случай, когда множитель $C=7$.

Для $C=7$ выражение $8 \times 7 + k_1 = 56 + k_1$ должно оканчиваться на 0. Это возможно только если перенос из разряда единиц $k_1=4$. Перенос $k_1=4$ означает, что произведение $B \times C = B \times 7$ должно быть в диапазоне от 40 до 49. Единственная цифра $B$, которая удовлетворяет этому условию, — это $B=6$, так как $6 \times 7 = 42$.

Восстановим вычисления. Шаг 1 (единицы): $B \times C = 6 \times 7 = 42$. Следовательно, $E=2$, а перенос в десятки $k_1=4$. Шаг 2 (десятки): $8 \times C + k_1 = 8 \times 7 + 4 = 60$. Записываем 0, перенос в сотни $k_2=6$. Шаг 3 (сотни): $3 \times C + k_2 = 3 \times 7 + 6 = 27$. Следовательно, $D=7$, а перенос в тысячи $k_3=2$. Шаг 4 (тысячи и десятки тысяч): $A \times C + k_3 = A \times 7 + 2$. По условию, это равно 16. Из уравнения $7A+2=16$ находим $7A=14$, откуда $A=2$.

Все цифры найдены: $A=2, B=6, C=7, D=7, E=2$. Проверка: $2386 \times 7 = 16702$.

Ответ: $ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 2 & 3 & 8 & 6 \\ \times & & & & 7 \\ \hline 1 & 6 & 7 & 0 & 2 \\ \end{array} $