Номер 3, страница 33 - гдз по математике 4 класс тетрадь учебных достижений Волкова

3*. $\begin{array}{l r r r r r} & \Box & 4 & 6 & \Box & \\ \times & & & & & \Box \\ \hline & 1 & 2 & \Box & 0 & \Box\end{array}$

Для решения этой задачи-головоломки, заменим пустые квадраты буквами, чтобы было удобнее рассуждать. Пусть пример выглядит так:

A 4 6 B
× C
----------
1 2 D 0 E

Здесь A, B, C, D, E – это неизвестные цифры, которые нужно найти. A и C не могут быть равны нулю. Разобьем процесс умножения в столбик на шаги:

1. Умножаем единицы: $B \times C$ дает в результате число, оканчивающееся на цифру E. Пусть $T_1$ – это цифра десятков (перенос), которая переходит в следующий разряд.
2. Умножаем десятки: $6 \times C$ и прибавляем перенос $T_1$. Результат $6 \times C + T_1$ должен оканчиваться на 0. Пусть $T_2$ – это новый перенос в разряд сотен.
3. Умножаем сотни: $4 \times C$ и прибавляем перенос $T_2$. Результат $4 \times C + T_2$ должен оканчиваться на цифру D. Пусть $T_3$ – это новый перенос.
4. Умножаем тысячи: $A \times C$ и прибавляем перенос $T_3$. Результат $A \times C + T_3$ должен быть равен 12.

Ключевым для решения является шаг 2. Выражение $6 \times C + T_1$ должно быть кратно 10. Перенос $T_1$ из первого шага может быть равен $0, 1, 2, ..., 8$ (например, для $9 \times 9 = 81$, $T_1=8$). Проверим все возможные значения для множителя C от 1 до 9.

• Если $C=1$, $6 \times 1 + T_1 = 6 + T_1$. Чтобы сумма оканчивалась на 0, $T_1$ должно быть 4. Но при умножении на 1 ($B \times 1$) максимальный перенос $T_1$ равен 0. Не подходит.
• Если $C=2$, $6 \times 2 + T_1 = 12 + T_1$. $T_1$ должно быть 8. Но при умножении на 2 ($B \times 2$) максимальный перенос $T_1$ равен 1 (для $9 \times 2 = 18$). Не подходит.
• Если $C=3$, $6 \times 3 + T_1 = 18 + T_1$. $T_1$ должно быть 2. Это возможно, если $B \times 3$ находится в диапазоне [20, 29], т.е. $B \in \{7, 8, 9\}$. Тогда перенос $T_2$ из $18+2=20$ равен 2. Далее, $4 \times 3 + T_2 = 12+2=14$. Значит, $D=4$, а перенос $T_3=1$. Тогда $A \times 3 + 1 = 12$, откуда $3A=11$, что невозможно для целого A. Не подходит.
• Если $C=4$, $6 \times 4 + T_1 = 24 + T_1$. $T_1$ должно быть 6. Но при умножении на 4 ($B \times 4$) максимальный перенос $T_1$ равен 3 (для $9 \times 4 = 36$). Не подходит.
• Если $C=5$, $6 \times 5 + T_1 = 30 + T_1$. Чтобы сумма оканчивалась на 0, $T_1$ должен быть 0. Это возможно, если $B \times 5 < 10$, то есть $B=0$ или $B=1$. Этот вариант подходит для дальнейшей проверки.
• Если $C=6$, $6 \times 6 + T_1 = 36 + T_1$. $T_1$ должно быть 4. Это возможно, если $B \times 6$ находится в диапазоне [40, 49], т.е. $B \in \{7, 8\}$. Тогда перенос $T_2$ из $36+4=40$ равен 4. Далее, $4 \times 6 + T_2 = 24+4=28$. Значит, $D=8$, а перенос $T_3=2$. Тогда $A \times 6 + 2 = 12$, откуда $6A=10$, что невозможно для целого A. Не подходит.
• Если $C=7$, $6 \times 7 + T_1 = 42 + T_1$. $T_1$ должно быть 8. Но при умножении на 7 ($B \times 7$) максимальный перенос $T_1$ равен 6 (для $9 \times 7 = 63$). Не подходит.
• Если $C=8$, $6 \times 8 + T_1 = 48 + T_1$. $T_1$ должно быть 2. Это возможно, если $B=3$. Тогда $T_2=5$, $D=7$, $T_3=3$. Тогда $A \times 8 + 3 = 12$, откуда $8A=9$. Невозможно.
• Если $C=9$, $6 \times 9 + T_1 = 54 + T_1$. $T_1$ должно быть 6. Это возможно, если $B=7$. Тогда $T_2=6$, $D=2$, $T_3=4$. Тогда $A \times 9 + 4 = 12$, откуда $9A=8$. Невозможно.

Таким образом, единственно возможный множитель — это $C=5$. При этом мы выяснили, что $B$ может быть 0 или 1. Давайте найдем остальные цифры при $C=5$:

Из $6 \times 5 + 0 = 30$, перенос $T_2=3$.
Из $4 \times 5 + T_2 = 20 + 3 = 23$, получаем $D=3$ и перенос $T_3=2$.
Из $A \times 5 + T_3 = 12 \Rightarrow A \times 5 + 2 = 12 \Rightarrow 5A=10 \Rightarrow A=2$.

Теперь у нас есть два возможных решения, в зависимости от значения B.

Решение 1 (при B=0)

Подставляем найденные цифры: A=2, B=0, C=5, D=3. Проверим умножение:

$2460 \times 5 = 12300$.

Последняя цифра E=0. Все условия сходятся.

Ответ:
2460
× 5
------
12300

Решение 2 (при B=1)

Подставляем найденные цифры: A=2, B=1, C=5, D=3. Проверим умножение:

$2461 \times 5 = 12305$.

Последняя цифра E=5. Все условия также сходятся.

Ответ:
2461
× 5
------
12305