Страница 33 - гдз по математике 4 класс тетрадь учебных достижений Волкова

1. Выполни умножение и запиши результат.

$2005 \cdot 60 = \text{______}$

Чтобы выполнить умножение $2005 \cdot 60$, можно использовать следующий метод:

1. Упростим задачу, временно отбросив ноль в конце числа $60$. Будем умножать $2005$ на $6$.

Выполнить это умножение можно устно, разложив число $2005$ на слагаемые: $2000$ и $5$.

$2005 \cdot 6 = (2000 + 5) \cdot 6$

Используя распределительное свойство умножения, получаем:

$2000 \cdot 6 + 5 \cdot 6 = 12000 + 30 = 12030$

Также это можно сделать в столбик:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c} & \phantom{\times}2005 \\ & \times\phantom{200}6 \\ \hline & 12030 \\ \end{array} $

2. Теперь к полученному результату $12030$ нужно "вернуть" ноль, который мы временно отбросили. Для этого нужно дописать ноль в конец числа.

$120300$

Таким образом, результат умножения $2005$ на $60$ равен $120300$.

Ответ: 120300

2. Выполни деление и запиши результат.

$6720 : 80 = $

2.

Чтобы найти результат деления $6720$ на $80$, можно упростить задачу, так как оба числа оканчиваются на ноль. Мы можем разделить и делимое ($6720$), и делитель ($80$) на $10$, убрав по одному нулю в конце каждого числа. Результат от этого не изменится.

Таким образом, выражение $6720 : 80$ становится равносильно выражению $672 : 8$.

Далее выполним деление столбиком:

1. Находим первое неполное делимое. Это $67$. Делим $67$ на $8$. Ближайшее к $67$ число, кратное $8$, это $64$. $64 : 8 = 8$. Первая цифра частного — $8$.

2. Находим остаток: $67 - 64 = 3$.

3. К остатку $3$ сносим следующую цифру делимого, $2$. Получаем число $32$.

4. Делим $32$ на $8$: $32 : 8 = 4$. Вторая цифра частного — $4$.

5. Остаток равен нулю, деление завершено.

Соединив полученные цифры, получаем результат: $84$.

Проверим решение умножением: $84 \times 80 = 84 \times 8 \times 10 = 672 \times 10 = 6720$. Результат верный.

Ответ: 84

3*. $\begin{array}{l r r r r r} & \Box & 4 & 6 & \Box & \\ \times & & & & & \Box \\ \hline & 1 & 2 & \Box & 0 & \Box\end{array}$

Для решения этой задачи-головоломки, заменим пустые квадраты буквами, чтобы было удобнее рассуждать. Пусть пример выглядит так:

A 4 6 B
× C
----------
1 2 D 0 E

Здесь A, B, C, D, E – это неизвестные цифры, которые нужно найти. A и C не могут быть равны нулю. Разобьем процесс умножения в столбик на шаги:

1. Умножаем единицы: $B \times C$ дает в результате число, оканчивающееся на цифру E. Пусть $T_1$ – это цифра десятков (перенос), которая переходит в следующий разряд.
2. Умножаем десятки: $6 \times C$ и прибавляем перенос $T_1$. Результат $6 \times C + T_1$ должен оканчиваться на 0. Пусть $T_2$ – это новый перенос в разряд сотен.
3. Умножаем сотни: $4 \times C$ и прибавляем перенос $T_2$. Результат $4 \times C + T_2$ должен оканчиваться на цифру D. Пусть $T_3$ – это новый перенос.
4. Умножаем тысячи: $A \times C$ и прибавляем перенос $T_3$. Результат $A \times C + T_3$ должен быть равен 12.

Ключевым для решения является шаг 2. Выражение $6 \times C + T_1$ должно быть кратно 10. Перенос $T_1$ из первого шага может быть равен $0, 1, 2, ..., 8$ (например, для $9 \times 9 = 81$, $T_1=8$). Проверим все возможные значения для множителя C от 1 до 9.

• Если $C=1$, $6 \times 1 + T_1 = 6 + T_1$. Чтобы сумма оканчивалась на 0, $T_1$ должно быть 4. Но при умножении на 1 ($B \times 1$) максимальный перенос $T_1$ равен 0. Не подходит.
• Если $C=2$, $6 \times 2 + T_1 = 12 + T_1$. $T_1$ должно быть 8. Но при умножении на 2 ($B \times 2$) максимальный перенос $T_1$ равен 1 (для $9 \times 2 = 18$). Не подходит.
• Если $C=3$, $6 \times 3 + T_1 = 18 + T_1$. $T_1$ должно быть 2. Это возможно, если $B \times 3$ находится в диапазоне [20, 29], т.е. $B \in \{7, 8, 9\}$. Тогда перенос $T_2$ из $18+2=20$ равен 2. Далее, $4 \times 3 + T_2 = 12+2=14$. Значит, $D=4$, а перенос $T_3=1$. Тогда $A \times 3 + 1 = 12$, откуда $3A=11$, что невозможно для целого A. Не подходит.
• Если $C=4$, $6 \times 4 + T_1 = 24 + T_1$. $T_1$ должно быть 6. Но при умножении на 4 ($B \times 4$) максимальный перенос $T_1$ равен 3 (для $9 \times 4 = 36$). Не подходит.
• Если $C=5$, $6 \times 5 + T_1 = 30 + T_1$. Чтобы сумма оканчивалась на 0, $T_1$ должен быть 0. Это возможно, если $B \times 5 < 10$, то есть $B=0$ или $B=1$. Этот вариант подходит для дальнейшей проверки.
• Если $C=6$, $6 \times 6 + T_1 = 36 + T_1$. $T_1$ должно быть 4. Это возможно, если $B \times 6$ находится в диапазоне [40, 49], т.е. $B \in \{7, 8\}$. Тогда перенос $T_2$ из $36+4=40$ равен 4. Далее, $4 \times 6 + T_2 = 24+4=28$. Значит, $D=8$, а перенос $T_3=2$. Тогда $A \times 6 + 2 = 12$, откуда $6A=10$, что невозможно для целого A. Не подходит.
• Если $C=7$, $6 \times 7 + T_1 = 42 + T_1$. $T_1$ должно быть 8. Но при умножении на 7 ($B \times 7$) максимальный перенос $T_1$ равен 6 (для $9 \times 7 = 63$). Не подходит.
• Если $C=8$, $6 \times 8 + T_1 = 48 + T_1$. $T_1$ должно быть 2. Это возможно, если $B=3$. Тогда $T_2=5$, $D=7$, $T_3=3$. Тогда $A \times 8 + 3 = 12$, откуда $8A=9$. Невозможно.
• Если $C=9$, $6 \times 9 + T_1 = 54 + T_1$. $T_1$ должно быть 6. Это возможно, если $B=7$. Тогда $T_2=6$, $D=2$, $T_3=4$. Тогда $A \times 9 + 4 = 12$, откуда $9A=8$. Невозможно.

Таким образом, единственно возможный множитель — это $C=5$. При этом мы выяснили, что $B$ может быть 0 или 1. Давайте найдем остальные цифры при $C=5$:

Из $6 \times 5 + 0 = 30$, перенос $T_2=3$.
Из $4 \times 5 + T_2 = 20 + 3 = 23$, получаем $D=3$ и перенос $T_3=2$.
Из $A \times 5 + T_3 = 12 \Rightarrow A \times 5 + 2 = 12 \Rightarrow 5A=10 \Rightarrow A=2$.

Теперь у нас есть два возможных решения, в зависимости от значения B.

Решение 1 (при B=0)

Подставляем найденные цифры: A=2, B=0, C=5, D=3. Проверим умножение:

$2460 \times 5 = 12300$.

Последняя цифра E=0. Все условия сходятся.

Ответ:
2460
× 5
------
12300

Решение 2 (при B=1)

Подставляем найденные цифры: A=2, B=1, C=5, D=3. Проверим умножение:

$2461 \times 5 = 12305$.

Последняя цифра E=5. Все условия также сходятся.

Ответ:
2461
× 5
------
12305

4. Марина задумала число, увеличила его в 40 раз и получила 280. Какое число задумала Марина?

Подчеркни ответ: 320; 70; 7.

Пусть неизвестное число, которое задумала Марина, равно $x$.

По условию задачи, это число увеличили в 40 раз, что математически означает умножение на 40. В результате получилось число 280. Мы можем составить следующее уравнение:

$x \cdot 40 = 280$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (280) разделить на известный множитель (40).

$x = 280 : 40$

Выполним вычисление:

$x = 7$

Таким образом, Марина задумала число 7. В списке ответов (320; 70; 7) нужно подчеркнуть 7.

Ответ: 7.

5*. Запиши в кружки такие знаки арифметических действий, чтобы равенство стало верным.

$50 \circ 50 \circ 100 = 100$

Чтобы равенство $50 \bigcirc 50 \bigcirc 100 = 100$ стало верным, необходимо подставить в кружки знаки арифметических действий. Существует два возможных решения этой задачи.

Вариант 1: Использование сложения и вычитания

Подставим в первый кружок знак минус (–), а во второй — знак плюс (+). Получим следующее выражение:

$50 - 50 + 100$

Согласно порядку выполнения действий, вычисления производятся слева направо:

1. Сначала выполняем вычитание: $50 - 50 = 0$.

2. Затем к результату прибавляем 100: $0 + 100 = 100$.

В итоге получаем $100 = 100$, что является верным равенством.

Ответ: $50 - 50 + 100 = 100$

Вариант 2: Использование умножения и деления

Подставим в первый кружок знак деления (/), а во второй — знак умножения (*). Получим следующее выражение:

$50 / 50 * 100$

Согласно порядку выполнения действий, умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому вычисления производятся слева направо:

1. Сначала выполняем деление: $50 / 50 = 1$.

2. Затем результат умножаем на 100: $1 * 100 = 100$.

В итоге получаем $100 = 100$, что также является верным равенством.

Ответ: $50 / 50 * 100 = 100$

6. От двух пристаней, расстояние между которыми 210 км, одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Через сколько часов они встретятся, если скорость одного теплохода 30 км/ч, а другого — 40 км/ч?

Для того чтобы найти время, через которое встретятся два теплохода, движущихся навстречу друг другу, необходимо сначала вычислить их скорость сближения. Скорость сближения — это сумма скоростей объектов, движущихся навстречу.

Пусть скорость первого теплохода $v_1 = 30$ км/ч, а скорость второго $v_2 = 40$ км/ч. Расстояние между ними $S = 210$ км.

1. Вычислим скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 30 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 70 \text{ км/ч}$
Это означает, что за каждый час расстояние между теплоходами сокращается на 70 км.

2. Теперь найдем время ($t$), через которое теплоходы встретятся. Для этого нужно общее расстояние разделить на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{210 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

Ответ: теплоходы встретятся через 3 часа.