Номер 3.63, страница 132, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

20. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Параграф 3. Отношения и пропорции. Часть 1 - номер 3.63, страница 132.

Условие.

3.63. Найдите, зависимость между какими величинами прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, а между какими не является пропорциональной:

а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости;
б) количество одинакового товара и его стоимость;
в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы;
г) масса деревянного бруска и его длина;
д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники;
е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки;
ж) возраст человека и его рост;
з) площадь квадрата и длина его стороны;
и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания;
к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева;
л) множители при данном произведении;
м) делимое и делитель при данном частном.

Решение 1.

3.63

а) прямо пропорциональная зависимость;

б) прямо пропорциональная зависимость;

в) обратно пропорциональная зависимость;

г) не является, так как масса бруска зависит не только от длины, но и от высоты и ширины;

д) обратно пропорциональная зависимость;

е) обратно пропорциональная зависимость;

ж) не является;

з) прямо пропорциональная зависимость;

и) прямо пропорциональная зависимость;

к) прямо пропорциональная зависимость;

л) прямо пропорциональная зависимость;

м) обратно пропорциональная зависимость.

Решение 2.

а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости

Обозначим время движения как $t$, пройденный путь как $S$ и постоянную скорость как $v$. Связь между этими величинами выражается формулой $S = v \cdot t$. Поскольку скорость $v$ постоянна, то отношение пути ко времени также постоянно: $S/t = v$. Это означает, что при увеличении времени в несколько раз, пройденный путь увеличивается во столько же раз. Следовательно, зависимость прямо пропорциональная.
Ответ: прямо пропорциональная.

б) количество одинакового товара и его стоимость

Пусть $n$ — количество товара, $C$ — его стоимость, а $p$ — цена за единицу товара. Стоимость вычисляется по формуле $C = p \cdot n$. Так как товар одинаковый, его цена $p$ является постоянной величиной. Отношение стоимости к количеству постоянно: $C/n = p$. Это прямая пропорциональность: чем больше товара мы покупаем, тем больше будет его общая стоимость.
Ответ: прямо пропорциональная.

в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы

Пусть $N$ — число рабочих, $t$ — время выполнения работы, а $A$ — общий объем работы. Если производительность одного рабочего равна $p$, то общая производительность $N$ рабочих составляет $N \cdot p$. Объем работы равен произведению общей производительности на время: $A = (N \cdot p) \cdot t$. Поскольку объем работы $A$ и квалификация (а значит, и производительность $p$) постоянны, то произведение числа рабочих на время является постоянной величиной: $N \cdot t = A/p = \text{const}$. Это означает, что при увеличении числа рабочих в несколько раз, время на выполнение той же работы уменьшается во столько же раз. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратно пропорциональная.

г) масса деревянного бруска и его длина

Предположим, что брусок однородный, то есть имеет постоянную плотность $\rho$ и постоянную площадь поперечного сечения $S$. Масса $m$ бруска связана с его объемом $V$ и плотностью $\rho$ формулой $m = \rho \cdot V$. Объем, в свою очередь, равен произведению площади поперечного сечения $S$ на длину $L$: $V = S \cdot L$. Тогда $m = \rho \cdot S \cdot L$. Так как для одного и того же типа бруска величины $\rho$ и $S$ постоянны, то отношение массы к длине постоянно: $m/L = \rho \cdot S = \text{const}$. Это прямая пропорциональность.
Ответ: прямо пропорциональная.

д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники

Эта ситуация аналогична пункту "в". Пусть $t$ — время работы, $N$ — число единиц техники. Объем работы $A$ (например, площадь, которую нужно очистить) постоянен. Производительность одной единицы техники $p$ также постоянна. Связь между величинами: $A = (N \cdot p) \cdot t$. Отсюда получаем, что произведение числа единиц техники на время постоянно: $N \cdot t = A/p = \text{const}$. Это обратная пропорциональность. Чем больше техники работает, тем меньше времени требуется на выполнение работы.
Ответ: обратно пропорциональная.

е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки

Пусть $p$ — цена товара, $n$ — его количество, а $C$ — общая сумма покупки. Связь между ними: $C = p \cdot n$. По условию, сумма покупки $C$ является определённой, то есть постоянной. Следовательно, произведение цены на количество является постоянной величиной: $p \cdot n = C = \text{const}$. Если цена товара увеличится, то на ту же сумму можно будет купить меньшее количество товара. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратно пропорциональная.

ж) возраст человека и его рост

Рост человека не изменяется пропорционально его возрасту. В детстве и юности человек растет, затем рост останавливается и в старости может даже немного уменьшиться. Например, человек в 20 лет не в два раза выше, чем в 10 лет. Отношение роста к возрасту $H/A$ не является постоянной величиной, как и их произведение $H \cdot A$.
Ответ: не является пропорциональной.

з) площадь квадрата и длина его стороны

Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Формула площади: $S = a^2$. Проверим на прямую пропорциональность: отношение $S/a = a^2/a = a$. Это отношение не постоянно, а зависит от $a$. Проверим на обратную пропорциональность: произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Это произведение также не постоянно. Зависимость является квадратичной, а не пропорциональной. Если увеличить сторону в 2 раза, площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.
Ответ: не является пропорциональной.

и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания

Обозначим высоту как $h$, объем как $V$ и площадь основания как $S_{осн}$. Формула для объема: $V = S_{осн} \cdot h$. По условию, площадь основания $S_{осн}$ постоянна. Тогда отношение объема к высоте постоянно: $V/h = S_{осн} = \text{const}$. Это прямая пропорциональность: во сколько раз увеличится высота, во столько же раз увеличится и объем.
Ответ: прямо пропорциональная.

к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева

Пусть $U$ — урожайность (масса зерна с единицы площади, например, т/га), $M$ — общая масса собранного зерна, $A$ — площадь посева. По определению, $U = M/A$, откуда $M = U \cdot A$. Поскольку площадь посева $A$ постоянна, то отношение общей массы зерна к урожайности является постоянной величиной: $M/U = A = \text{const}$. Это прямая пропорциональность. Если урожайность увеличится вдвое, то и масса зерна с той же площади увеличится вдвое.
Ответ: прямо пропорциональная.

л) множители при данном произведении

Пусть $a$ и $b$ — множители, а $P$ — их произведение. Связь между ними: $a \cdot b = P$. По условию, произведение $P$ дано, то есть является постоянной величиной. Следовательно, $a \cdot b = \text{const}$. Это определение обратной пропорциональности. Если один множитель увеличить, то другой нужно уменьшить во столько же раз, чтобы произведение осталось неизменным.
Ответ: обратно пропорциональная.

м) делимое и делитель при данном частном

Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, а $q$ — частное. Связь между ними: $a / b = q$. По условию, частное $q$ дано, то есть является постоянной величиной. Следовательно, $a/b = q = \text{const}$. Это определение прямой пропорциональности. Чтобы частное оставалось неизменным, при увеличении делителя во столько же раз должно быть увеличено и делимое.
Ответ: прямо пропорциональная.

Решение 3.

Решение 4.