Номер 437, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 437, страница 106.

Условие.

437. Найдите значение выражения:

а) $2^4 \cdot 5^4$;

б) $4^3 \cdot 25^3$;

в) $0,25^{15} \cdot 4^{15}$;

г) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7$;

д) $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9$;

е) $0,2^6 \cdot 50^7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значения выражения $2^4 \cdot 5^4$ воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: $10000$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени произведения для выражения $4^3 \cdot 25^3$.

$4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3$.

Так как $100 = 10^2$, то $100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$.

Ответ: $1000000$.

в) Выражение $0.25^{15} \cdot 4^{15}$ также решается с помощью свойства степени произведения.

$0.25^{15} \cdot 4^{15} = (0.25 \cdot 4)^{15} = 1^{15} = 1$.

Ответ: $1$.

г) Для выражения $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1.5^7$ сначала представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной дроби. $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Теперь применим свойство степени произведения:

$(\frac{2}{3})^7 \cdot 1.5^7 = (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: $1$.

д) В выражении $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1.4^9$ показатели степеней различны. Чтобы воспользоваться свойством степени произведения, нужно привести множители к одинаковому показателю. Разложим множитель с большим показателем, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Сначала представим $1.4$ в виде дроби: $1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

$(\frac{5}{7})^{10} \cdot (\frac{7}{5})^9 = (\frac{5}{7})^{9+1} \cdot (\frac{7}{5})^9 = (\frac{5}{7})^1 \cdot (\frac{5}{7})^9 \cdot (\frac{7}{5})^9$.

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми показателями:

$\frac{5}{7} \cdot ((\frac{5}{7}) \cdot (\frac{7}{5}))^9 = \frac{5}{7} \cdot 1^9 = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) В выражении $0.2^6 \cdot 50^7$ показатели степеней также различны. Как и в предыдущем примере, разложим множитель с большей степенью:

$0.2^6 \cdot 50^7 = 0.2^6 \cdot 50^{6+1} = 0.2^6 \cdot 50^6 \cdot 50^1$.

Сгруппируем множители с одинаковыми показателями и вычислим:

$(0.2 \cdot 50)^6 \cdot 50 = 10^6 \cdot 50 = 1000000 \cdot 50 = 50000000$.

Ответ: $50000000$.