Номер 301, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 301, страница 87.

301 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Даны отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂ и угол hk (рис. 150, а). Требуется построить треугольник ABC, у которого одна из сторон, скажем AB, равна отрезку P₁Q₁, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне AB, равна данному отрезку P₂Q₂.

Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок AB, равный данному отрезку P₁Q₁ (рис. 150, б). Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой AB должно равняться P₂Q₂.

Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии Р₂Q₂ от прямой AB и лежащих по ту же сторону от прямой AB, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой AB и находящаяся на расстоянии Р₂Q₂ от прямой AB. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 292. Очевидно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи: AB=P₁Q₁, CH=P₂Q₂, ∠A=∠hk.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне, необходимо выполнить следующую последовательность шагов. Пусть нам даны три элемента: отрезок $P_1Q_1$, который определит длину стороны; угол $hk$, который определит величину прилежащего угла; и отрезок $P_2Q_2$, который определит длину высоты. Построим треугольник $ABC$ так, чтобы сторона $AB = P_1Q_1$, угол $\angle A = \angle hk$, а высота $CH$, опущенная на сторону $AB$, была равна $P_2Q_2$.

Сначала построим угол, равный данному. Для этого начертим произвольную прямую $n$ и отметим на ней точку $A$. От луча, исходящего из точки $A$ по прямой $n$, отложим угол, равный $hk$. Пусть второй стороной этого угла будет луч $AY$. Таким образом, мы построили угол $\angle YAn$, равный $\angle hk$.

Далее, на луче, лежащем на прямой $n$, отложим от точки $A$ отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $P_1Q_1$. Точки $A$ и $B$ — это две вершины искомого треугольника, а отрезок $AB$ — одна из его сторон.

Теперь нужно найти положение третьей вершины $C$. Из условия задачи мы знаем, что высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$, равна отрезку $P_2Q_2$. Это означает, что точка $C$ должна находиться на расстоянии, равном длине $P_2Q_2$, от прямой $n$, на которой лежит сторона $AB$.

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от некоторой прямой, — это пара прямых, параллельных данной. Построим прямую $p$, параллельную прямой $n$ и находящуюся на расстоянии $P_2Q_2$ от неё. Для этого в любой точке прямой $n$ (например, в точке $A$) восстановим перпендикуляр, отложим на нём отрезок длиной $P_2Q_2$ и через его конец проведём прямую $p$, параллельную $n$. Мы выберем ту из двух возможных параллельных прямых, которая лежит в той же полуплоскости относительно $n$, что и луч $AY$.

Искомая вершина $C$ должна принадлежать как лучу $AY$ (чтобы угол $\angle A$ был равен заданному), так и прямой $p$ (чтобы высота была равна заданной). Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения луча $AY$ и прямой $p$.

Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получим искомый треугольник $ABC$. Построенный треугольник удовлетворяет всем условиям: $AB = P_1Q_1$, $\angle A = \angle hk$ и высота $CH = P_2Q_2$. Задача имеет единственное решение, если угол $hk$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, а длина высоты $P_2Q_2$ больше нуля.

Ответ: Треугольник строится путём построения угла, равного данному, на одном из концов заданной стороны. Затем строится прямая, параллельная этой стороне на расстоянии, равном заданной высоте. Точка пересечения второй стороны угла и этой параллельной прямой является третьей вершиной треугольника.