Номер 300, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 300, страница 87.

300 Даны отрезки Р₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃. Постройте треугольник ABC так, чтобы:

а) AB = P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 2P₃Q₃;

б) AB = 2P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 32P₃Q₃.

Всегда ли задача имеет решение?

а)

Для построения треугольника $ABC$ со сторонами $AB=P_1Q_1$, $BC=P_2Q_2$ и $CA=2P_3Q_3$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим отрезок, соответствующий стороне $CA$. Для этого начертим произвольный луч с началом в точке $C$. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_3Q_3$ и отложим ее на луче от точки $C$ два раза подряд. Конец второго отложенного отрезка обозначим точкой $A$. Полученный отрезок $CA$ будет иметь длину $2P_3Q_3$.
2. Теперь выполним построение треугольника по трем сторонам ($AB, BC, CA$). У нас уже есть сторона $CA$.
   • Измерим циркулем длину отрезка $P_1Q_1$. Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $|P_1Q_1|$.
   • Измерим циркулем длину отрезка $P_2Q_2$. Проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $|P_2Q_2|$.
   • Точка пересечения этих двух дуг является третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $B$. (Примечание: в общем случае существует два таких пересечения, симметричных относительно прямой $AC$. Можно выбрать любое из них).
   • Соединим точки $A, B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: План построения треугольника описан выше. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $2P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

б)

Для построения треугольника $ABC$ со сторонами $AB=2P_1Q_1$, $BC=P_2Q_2$ и $CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим отрезки, соответствующие сторонам $AB$ и $CA$:
   • Сторона AB: На произвольном луче от его начала отложим с помощью циркуля два раза подряд отрезок $P_1Q_1$. Полученный отрезок будет иметь длину $2P_1Q_1$.
   • Сторона CA: Для построения отрезка длиной $\frac{3}{2}P_3Q_3$ сначала найдем середину отрезка $P_3Q_3$ (с помощью построения серединного перпендикуляра). Отрезок от конца до середины будет иметь длину $\frac{1}{2}P_3Q_3$. Затем на произвольном луче отложим отрезок $P_3Q_3$, а затем от его конца в том же направлении отложим отрезок длиной $\frac{1}{2}P_3Q_3$. Полученный в итоге отрезок будет иметь искомую длину $\frac{3}{2}P_3Q_3$.
2. Теперь построим треугольник по трем сторонам: $BC$ (исходный отрезок), $AB$ и $CA$ (построенные на шаге 1).
   • Начертим прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный по длине $P_2Q_2$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным построенной длине $2P_1Q_1$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным построенной длине $\frac{3}{2}P_3Q_3$.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим $A$.
   • Соединим точки $A, B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: План построения треугольника описан выше. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $2P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $\frac{3}{2}P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

Всегда ли задача имеет решение?

Задача на построение треугольника по трем сторонам имеет решение не всегда. Для того чтобы из трех отрезков с длинами $a, b, c$ можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы для них выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Обозначим длины исходных отрезков как $p_1 = |P_1Q_1|$, $p_2 = |P_2Q_2|$ и $p_3 = |P_3Q_3|$.

• В случае а), стороны треугольника должны иметь длины $p_1, p_2, 2p_3$. Условия существования треугольника:

  $p_1 + p_2 > 2p_3$

  $p_2 + 2p_3 > p_1$

  $p_1 + 2p_3 > p_2$

• В случае б), стороны треугольника должны иметь длины $2p_1, p_2, \frac{3}{2}p_3$. Условия существования треугольника:

  $2p_1 + p_2 > \frac{3}{2}p_3$

  $p_2 + \frac{3}{2}p_3 > 2p_1$

  $2p_1 + \frac{3}{2}p_3 > p_2$

Так как длины исходных отрезков $p_1, p_2, p_3$ могут быть произвольными, эти неравенства могут не выполняться. Например, для пункта а), если взять отрезки с длинами $p_1=3, p_2=4, p_3=4$, то стороны треугольника будут иметь длины 3, 4 и 8. Неравенство $3+4 > 8$ (т.е. $7>8$) неверно, следовательно, такой треугольник построить невозможно.

Ответ: Нет, задача имеет решение не всегда. Решение существует только в том случае, если длины сторон, полученные из исходных отрезков, удовлетворяют неравенству треугольника.