Номер 295, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 295, страница 86.

295 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Пусть нам даны отрезки, равные по длине стороне $a$ и медиане $m_b$, а также угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что одна из его сторон (например, $BC$) равна $a$, медиана, проведенная к другой стороне (например, $BM$ к стороне $AC$), равна $m_b$, а угол между этой стороной и медианой ($\angle CBM$) равен $\alpha$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, $M$ — середина стороны $AC$, медиана $BM = m_b$ и угол $\angle CBM = \alpha$.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $BCM$. В этом треугольнике нам известны два элемента: сторона $BC = a$ и сторона $BM = m_b$. Также известен угол между этими сторонами: $\angle CBM = \alpha$. По двум сторонам и углу между ними ($a$, $m_b$, $\alpha$) треугольник $BCM$ можно построить однозначно.

После того как этот треугольник будет построен, мы найдем положение вершин $B$, $C$ и точки $M$. Вершина $A$ искомого треугольника $ABC$ связана с точкой $M$ тем, что $M$ — середина стороны $AC$. Это означает, что точка $A$ лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $M$, причем $CM = MA$, а точка $M$ находится между $C$ и $A$. Следовательно, мы можем найти вершину $A$, продлив отрезок $CM$ за точку $M$ на его собственную длину. Это и определяет план построения.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $BC$ в точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Назовем вторую сторону угла лучом $BK$.
3. На луче $BK$ отложим от точки $B$ отрезок $BM$, равный данной медиане $m_b$.
4. Соединим точки $C$ и $M$. Вспомогательный треугольник $BCM$ построен.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $M$.
6. На этой прямой, на продолжении отрезка $CM$ за точку $M$, отложим отрезок $MA$, равный отрезку $CM$. (Это можно сделать, построив окружность с центром $M$ и радиусом $CM$; точка $A$ будет второй точкой пересечения окружности с прямой $CM$).
7. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Во-первых, сторона $BC$ равна $a$ по построению.
Во-вторых, отрезок $BM$ является медианой к стороне $AC$, так как точка $M$ по построению является серединой отрезка $AC$ ($C, M, A$ лежат на одной прямой и $CM=MA$).
В-третьих, длина этой медианы $BM$ равна $m_b$ по построению.
В-четвертых, угол между стороной $BC$ и медианой $BM$, то есть $\angle CBM$, равен $\alpha$ по построению.
Таким образом, все условия задачи выполнены, и треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $BCM$. Для этого необходимо, чтобы заданные отрезки $a$ и $m_b$ имели положительную длину ($a > 0$, $m_b > 0$), а данный угол $\alpha$ удовлетворял условию $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Если $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$, точки $B$, $C$, $M$ лежат на одной прямой, и треугольник $ABC$ вырождается в отрезок. При выполнении этих условий построение треугольника $BCM$ по двум сторонам и углу между ними всегда возможно и единственно. Все последующие шаги построения также выполняются однозначно. Следовательно, при $a>0$, $m_b>0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Построение выполняется с помощью вспомогательного треугольника. Пусть данная сторона — $BC$, медиана — $BM$, а угол — $\angle CBM$. Строим $\triangle BCM$ по двум сторонам $BC$, $BM$ и углу $\angle CBM$ между ними. Затем на продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MA = CM$. Треугольник $ABC$ — искомый.